Движение электронов в однородном магнитном поле. Движение электронов в магнитном поле
В некоторых электровакуумных приборах используется движение электронов в магнитном поле.
Рассмотрим случай, когда электрон влетает в однородное магнитное поле с начальной скоростью v 0, направленной перпендикулярно магнитным силовым линиям. В этом случае на движущийся электрон действует так называемая сила Лоренца F, которая перпендикулярна вектору н0 и вектору напряженности магнитного поля Н. Величина силы F определяется выражением: F= ev0H.
При v0 = 0 сила Рравна нулю, т. е. на неподвижный электрон магнитное поле не действует.
Сила F искривляет траекторию электрона в дугу окружности. Поскольку сила F действует под прямым углом к скорости н0, она не совершает работы. Энергия электрона и его скорость не изменяются по величине. Происходит лишь изменение направления скорости. Известно, что движение тела по окружности (вращение) с постоянной скоростью получается благодаря действию направленной к центру центростремительной силы, которой именно и является сила F.
Направление поворота электрона в магнитном поле в соответствии с правилом левой руки удобно определяется по следующим правилам. Если смотреть в направлении магнитных силовых линий, то электрон движется по часовой стреле. Иначе говоря, поворот электрона совпадает с вращательным движением винта, который ввинчивается по направлению магнитных силовых линий.
Определим радиус r окружности, описываемой электроном. Для этого воспользуемся выражением для центростремительной силы, известным из механики: F = mv20/r. Приравняем его значению силы F = ev0H: mv20/r = ev0H. Теперь из этого уравнения можно найти радиус: r = mv0/(eH).
Чем больше скорость электрона v0, тем сильнее он стремится двигаться прямолинейно по инерции и радиус искривления траектории будет больше. С другой стороны, с увеличением Н растет сила F, искривление траектории возрастает и радиус окружности уменьшается.
Выведенная формула справедлива для движения в магнитном поле частиц с любыми массами и зарядом.
Рассмотрим зависимость r от m и e. Заряженная частица с большей массой m сильнее стремится лететь по инерции прямолинейно и искривление траектории уменьшится, т. е. rстанет больше. А чем больше заряд e, тем больше сила F и тем сильнее искривляется траектория, т. е. ее радиус становится меньше.
Выйдя за пределы магнитного поля, электрон дальше летит по инерции по прямой линии. Если же радиус траектории мал, то электрон может описывать в магнитном поле замкнутые окружности.
Таким образом, магнитное поле изменяет только направление скорости электронов, но не ее величину, т. е. между электроном и магнитным полем нет энергетического взаимодействия. По сравнению с электрическим полем действие магнитного поля на электроны является более ограниченным. Именно поэтому магнитное поле применяется для воздействия на электроны значительно реже, нежели электрическое поле.
В некоторых электровакуумных приборах используется движение электронов в магнитном поле.
Рассмотрим случай, когда электрон влетает в однородное магнитное поле с начальной скоростью v0, направленной перпендикулярно магнитным силовым линиям. В этом случае на движущийся электрон действует так называемая сила Лоренца F, которая перпендикулярна вектору н0 и вектору напряженности магнитного поля Н. Величина силы F определяется выражением: F= ev0H.
При v0 = 0 сила Рравна нулю, т. е. на неподвижный электрон магнитное поле не действует.
Сила F искривляет траекторию электрона в дугу окружности. Поскольку сила F действует под прямым углом к скорости н0, она не совершает работы. Энергия электрона и его скорость не изменяются по величине. Происходит лишь изменение направления скорости. Известно, что движение тела по окружности (вращение) с постоянной скоростью получается благодаря действию направленной к центру центростремительной силы, которой именно и является сила F.
Направление поворота электрона в магнитном поле в соответствии с правилом левой руки удобно определяется по следующим правилам. Если смотреть в направлении магнитных силовых линий, то электрон движется по часовой стреле. Иначе говоря, поворот электрона совпадает с вращательным движением винта, который ввинчивается по направлению магнитных силовых линий.
Определим радиус r окружности, описываемой электроном. Для этого воспользуемся выражением для центростремительной силы, известным из механики: F = mv20/r. Приравняем его значению силы F = ev0H: mv20/r = ev0H. Теперь из этого уравнения можно найти радиус: r= mv0/(eH).
Чем больше скорость электрона v0, тем сильнее он стремится двигаться прямолинейно по инерции и радиус искривления траектории будет больше. С другой стороны, с увеличением Н растет сила F, искривление траектории возрастает и радиус окружности уменьшается.
Выведенная формула справедлива для движения в магнитном поле частиц с любыми массами и зарядом.
Рассмотрим зависимость rот mи e. Заряженная частица с большей массой mсильнее стремится лететь по инерции прямолинейно и искривление траектории уменьшится, т. е. rстанет больше. А чем больше заряд e, тем больше сила F и тем сильнее искривляется траектория, т. е. ее радиус становится меньше.
Выйдя за пределы магнитного поля, электрон дальше летит по инерции по прямой линии. Если же радиус траектории мал, то электрон может описывать в магнитном поле замкнутые окружности.
Таким образом, магнитное поле изменяет только направление скорости электронов, но не ее величину, т. е. между электроном и магнитным полем нет энергетического взаимодействия. По сравнению с электрическим полем действие магнитного поля на электроны является более ограниченным. Именно поэтому магнитное поле применяется для воздействия на электроны значительно реже, нежели электрическое поле.
Управление движением свободных электронов в большинстве электронных приборов осуществляется с помощью электрических или магнитных полей. В чем состоит сущность этих явлений?
Электрон в электрическом поле . Взаимодействие движущихся электронов с электрическим полем – основной процесс, происходящий в большинстве электронных приборов.
Наиболее простым случаем является движение электрона в однородном электрическом поле, т.е. в поле, напряженность которого одинакова в любой точке, как по величине, так и по направлению. На рисунке показано однородное электрическое поле, созданное между двумя параллельными пластинами достаточно большой протяженности, чтобы пренебречь искривлением поля у краев. На электрон, как и на любой заряд, помещенный в электрическое поле с напряженностью Е, действует сила, равная произведению величины заряда на напряженность поля в месте нахождения заряда,
F = -eE . 1.11
Знак минус показывает, что вследствие отрицательного заряда электрона сила имеет направление, противоположное направлению вектора напряженности электрического поля. Под действием силы F электрон двигается навстречу электрическому полю, т.е. перемещается в сторону точек с более высоким потенциалом. Поэтому поле в данном случае является ускоряющим.
Работа, затраченная электрическим полем на перемещение заряда из одной точки в другую, равна произведению величины заряда на разность потенциалов между этими точками, т.е. для электрона
где U - разность потенциалов между точками 1 и 2. Эта работа затрачивается на сообщение электрону кинетической энергии
где V и V 0 - скорости электрона в точках 2 и 1. приравнивая равенства (1.12) и (1.13), получаем
Если начальная скорость электрона V 0 = 0, то
Отсюда можно определить скорость электрона в электрическом поле при разности потенциалов U :
Таким образом, скорость, приобретенная электроном при движении в ускоряющем поле, зависит только от пройденной разности потенциалов. Из формулы (1.17) видно, что скорости электронов, даже при сравнительно небольшой разности потенциалов, получаются значительными. Например, при U = 100 В получаем V = 6000 км/с. При такой большой скорости электронов все процессы в приборах, связанные с движением электронов, протекают очень быстро. Например, время, необходимое для пролета электронов между электродами в электронной лампе, составляет доли микросекунды. Именно поэтому работа большинства электронных приборов может считаться практически безинерционной.
Рассмотрим теперь движение электрона, у которого начальная скорость V o направлена против силы F , действующей на электрон со стороны поля (Рис. 1.8, б ). В этом случае электрическое поле является для электрона тормозящим. Скорость движения электрона и его кинетическая энергия в тормозящем поле уменьшаются, так как в данном случае работа совершается не силами поля, а самим электроном, который за счет своей энергии преодолевает сопротивление сил поля. Энергия, теряемая электроном, переходит к полю. Действительно, поскольку движение электрона в тормозящем поле означает его перемещение в направлении отрицательного полюса источника поля, то при приближении электрона к последнему суммарный отрицательный заряд увеличивается и соответственно увеличивается энергия поля. В тот момент, когда электрон полностью израсходует свою кинетическую энергию, его скорость окажется равной нулю, и затем электрон начнет движение в обратном направлении. Движение его в обратном направлении является не чем иным, как рассмотренным выше движением без начальной скорости в ускоряющем поле. При таком движении электрона поле возвращает ему ту энергию, которую он потерял при своем замедленном движении.
В рассмотренных выше случаях направление скорости движения электрона было параллельным направлению электрических силовых линий поля. Такое электрическое поле называется продольным. Поле, направленное перпендикулярно вектору начальной скорости электрона, называется поперечным.
Рассмотрим вариант, когда электрон влетает в электрическое поле с некоторой начальной скоростью V o и под прямым углом к направлению электрических силовых линий (рис. 1.8, в ). Поле действует на электрон с постоянной силой, определяемой по формуле (1.11) и направленной в сторону более высокого положительного потенциала. Под действием этой силы электрон приобретает скорость V 1 , направленную навстречу полю. В результате электрон совершает одновременно два взаимно перпендикулярных движения: прямолинейное равномерное по инерции со скоростью V 0 и прямолинейно
равномерно ускоренное со скоростью V 1 . Под влиянием этих двух взаимно перпендикулярных скоростей электрон будет двигаться по траектории, представляющей собой параболу. После выхода из электрического поля электрон будет двигаться по инерции прямолинейно.
Электрон в магнитном поле. Влияние магнитного поля на движущийся электрон можно рассматривать как действие этого поля как на проводник с током. Движение электрона с зарядом е и скоростью V эквивалентно току i , проходящему через элементарный отрезок проводника длиной Δl .
Согласно основным законам электромагнетизма сила, действующая в магнитном поле на провод длиной Δl с током i равна
F = Bi Δlsin α. (1.20)
где В- магнитная индукция; α– угол между направлением тока и магнитной силовой линией поля.
Используя соотношение (1.18), получим новое выражение, характеризующее силу воздействия магнитного поля на движущийся в нем электрон,
F = BeV sinα. (1.21)
Из этого выражения видно, что электрон, движущийся вдоль силовых линий магнитного поля (α = 0), не испытывает никакого воздействия поля (F = BeVsin 0=0)и продолжает перемещаться с заданной ему скоростью.
Если вектор начальной скорости электрона перпендикулярен вектору магнитной индукции, т.е. α = 90, то сила, действующая на электрон,
F = BeV .(1.22)
Направление этой силы определяется по правилу левой руки. Сила F всегда перпендикулярна направлению мгновенной скорости V электрона и направлению магнитных силовых линий поля. В соответствии со вторым законом Ньютона эта сила сообщает электрону с массой m e ускорение, равное . Поскольку ускорение перпендикулярно скорости V , то электрон под действием этого нормального (центростремительного) ускорения будет двигаться по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной к силовым линия поля.
В общем случае начальная скорость электрона может быть неперпендикулярна к магнитной индукции. В данном случае траекторию движения электрона определяют две составляющие начальной скорости:
нормальная V 1 и касательная V 2 , первая из которых направлена перпендикулярно силовым линиям магнитного поля, а вторая параллельно им. Под действием нормальной составляющей электрон движется по окружности, а под действие касательной – перемещается вдоль силовых линий поля рис. 1.9.
В результате одновременного действия обеих составляющих траектория движения электрона принимает вид спирали. Рассмотренная возможность изменения траектории движения электрона с помощью магнитного поля используется для фокусировки и управления электронным потоком в электронно-лучевых трубках и других приборах.
Движение электрона в равномерном магнитном поле, неизменном во времени и направленном перпендикулярно скорости. Под заряженной частицей мы будем подразумевать электрон. Заряд его обозначим q =- q э и массу m . Заряд примем равным q э =1,601 . 10 -19 Кл, при скорости движения, значительно меньшей скорости света, масса m =0,91 . 10 -27 г. Допустим, что электрон движется в достаточно высоком вакууме, так что при движении электрон не сталкивается с другими частицами. На электрон, движущийся со скоростью в магнитном поле индукции, действует сила Лоренца
Учтем, что заряд электрона отрицателен, и скорость его направлена по оси y , а индукция по оси- x . Сила направлена перпендикулярно скорости и является центробежной силой. Она изменяет направление скорости, не влияя на числовое значение (см. рис.1)
Электрон будет двигаться по окружности радиусом r с угловой частотой, которую называют циклотронной частотой. Центробежное ускорение равно силе f , деленной на массу
Период равен
Следовательно
Движение электрона в неизменном во времени магнитном поле, когда скорость электрона не перпендикулярна силовым линиям
Рассмотрим два случая:
а) Движение в равномерном поле. На рис 2. обозначен угол между скоростью электрона и индукцией. Разложим на, направленную по и численно равную, и на, направленную перпендикулярно и численно равную. Так как, то наличие составляющей скорости не вызывает силы воздействия на электрон. Движение со скоростью приводит к вращению электрона вокруг линии подобно тому, как это было рассмотрено в первом пункте. В целом электрон будет двигаться по спирали. Осевой линией которой является линия магнитной индукции. Поступательное и одновременно вращательное движение называют дрейфовым движением. Радиус спирали шаг спирали
б) Движение в неравномерном поле. Если магнитное поле неравномерно, например сгущается (рис.2 в.), то при движении по спирали электрон будет попадать в точки поля, где индукция В увеличивается. Но чем больше индукция В, тем при прочих равных условиях меньше радиус спирали r . Дрейф электрона будет происходить в этом случае по спирали со всем уменьшающимся радиусом. Если бы
магнитные силовые линии образовывали расходящийся пучок, то электрон при своем движении попадал бы в точки поля со все уменьшающейся индукцией и радиус спирали возрастал бы
Фокусировка пучка электронов по¬стоянным во времени магнитным полем (магнитная линза)
Из катода электронного прибора (рис. 3) выходит расходящийся пучок электронов. Со скоростью электроны входят в неравномерное магнитное поле узкой цилиндрической катушки с током
Разложим скорость электрона в произвольной точке т на две составляю¬щие: и
Первая направлена противоположно, а вторая -перпендикулярно. Возникшая ситуация повторяет ситуацию, рассмотренную в пункте 2. Электрон нач¬нет двигаться по спирали, осью которой является. В результате электронный пучок фокусируется в точке b .
Движение электронов в равномерном электрическом поле. Принцип работы электронного осциллографа
Электрон, пройдя расстояние от катода К до узкого отверстия в аноде А (рис. 4, а), под действием ускоряющего напря¬жения U ак увеличивает свою кинетическую энергию на величину работы сил по¬ля
Скорость с которой электрон будет двигаться после выхода в аноде из отверстия 0, найдем из соотношения
При дальнейшем прямолинейном движении по оси х электрон попадает в равномерное электрическое поле, напряженностью Е между отклоняющими пластинами 1 и 2 (находятся в плоскостях, параллельных плоскости z ох).
Напряженность Е направлена вдоль оси у. Пока электрон движется между от¬клоняющимися пластинами, на него действует постоянная сила Fy = - q э E . направленная но оси -у. Под действием этой силы электрон движется вниз рав¬ноускоренно, сохраняя постоянную скорость вдоль оси х. В результате в про¬странстве между отклоняющими пластинами электрон движется по параболе. Когда он выйдет из поля пластин 1-2. в плоскости уох он будет двигаться по касательной к пара¬боле. Далее он попадает в поле пластин 3-4 , которые создают развертку во времени. Напряже¬ние U 31 между пластинами 3-4 и напряженность поля между ними E 1 линейно нарастают во времени (рис. 4, б). Электрон получает отклонение в направлении оси z , что и даст развертку во времени
Рассмотрим движение электрона в однородном магнитном поле. Если неоднородность поля незначительна, или если нет необходимости в получении точных количественных оценок, то для изучения движения в неоднородном поле также можно пользоваться более простыми законами, полученными для однородного поля.
Пусть электрон влетает в однородное магнитное поле с начальной скоростью V 0 , направленной перпендикулярно магнитным силовым линиям, рис. 5. В этом случае на электрон действует сила Лоренца F, которая перпендикулярна вектору V 0 и вектору магнитной индукции В, а численно равна:
При V 0 =0 сила F также равна нулю (на неподвижный электрон магнитное поле не действует). Сила F искривляет траекторию электрона в дугу окружности. Так как сила F действует под прямым углом к скорости V 0 , она не совершает работы. Энергия электрона и его скорость не изменяются. Изменяется лишь направление движения.
Направление движения электрона определяется следующему мнемоническому правилу: поворот электрона совпадает с вращательным движением винта, который ввинчивается в направлении магнитных силовых линий. Это правило часто называют правилом буравчика.
Известно, что движение тела по окружности с постоянной скоростью происходит под действием направленной к центру (центростремительной) силы. В нашем случае в качестве центростремительной выступает сила Лоренца F. Из механики известно, что центростремительная сила может быть рассчитана по формуле:
где r – радиус окружности вращения электрона. Приравняв центростремительную силу, получаемую из последнего выражения к выражению для силы Лоренца, получим:
.
Откуда найдем радиус:
Чем больше скорость электрона, тем больше и радиус окружности, описываемой им в магнитном поле. Выйдя за пределы магнитного поля, электрон летит равномерно и прямолинейно по инерции. Если же радиус окружности мал, то электрон может описывать в магнитном поле замкнутые окружности.
Рассмотрим случай, когда электрон влетает в магнитное поле под любым углом, рис. 6. Выберем координатную плоскость так, чтобы вектор начальной скорости электрона V 0 лежал в этой плоскости и чтобы ось Х совпадала по направлению с вектором В. Разложим V 0 на составляющие V x и V y . Движение электрона со скоростью V x эквивалентно току вдоль силовых линий. На такой ток магнитное поле не действует. Следовательно скорость V x не испытывает никаких изменений. Если бы электрон имел только эту скорость, он бы двигался прямолинейно и равномерно. Влияние поля на скорость V y такое же, как и в первом случае, отображенном на рис. 6. имея только скорость V y электрон двигался бы по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитным силовым линиям.
Результирующее движение электрона происходит по винтовой линии (по спирали). В зависимости о значений B, V x и V y , эта спираль более или менее растянута. Радиус спирали легко определить по последней формуле, подставив в нее скорость V y .