В этом же документе приводятся правила определения коэффициента вариации. Разработано несколько методик выявления НМЦК: нормативная, тарифная, проектно-сметная, затратная. Самым приоритетным считается метод сопоставимых рыночных цен. Именно его рекомендуется использовать при определении стартовой цены. Он предполагает сравнение коммерческих предложений, предоставляемых потенциальными поставщиками по запросу заказчика. Для проведения такого анализа и применяется коэффициент вариации. Он выражается в процентах. Под коэффициентом вариации понимается мера относительного разброса предлагаемых цен. Он показывает, какую долю занимает средний разброс цен от среднего значения цены. Этот показатель может принимать следующие значения:

1. Меньше 10%. В таком случае разница в ценах признается незначительной.
2. От 10% до 20%. Разброс считается средним.
3. От 20% до 33%.

Коэффициент вариации

Для проверки соответствия исследуемых значений закону нормального распределения применяют отношение показателя асимметрии к его ошибке и отношение показателя эксцесса к его ошибке. Показатель асимметрии Показатель асимметрии (A) и его ошибка (ma) рассчитывается по следующим формулам: , где А — показатель асимметрии, — среднеквадратическое отклонение,a — среднее арифметическое,n — число измерений параметра,ai — измеренное значение на i-м шаге.

Показатель эксцесса Показатель эксцесса (E) и его ошибка (me) рассчитывается по следующим формулам: , где Е — показатель эксцесса, — среднеквадратическое отклонение,a — среднее арифметическое,n — число измерений параметра,ai — измеренное значение на i-м шаге. Если А < 0, то больше данных с меньшими значениями, чем среднеарифметическое.
Если Е < 0, то данные сконцентрированы около среднеарифметического значения.

Инфо

X – отдельные значения, X̅– среднее арифметическое по выборке. Примечание. Для расчета дисперсии в Excel предусмотрена специальная функция.

Стоит отметить, что у такого расчета дисперсии есть недостаток – она получается смещенной, т.е. ее математическое ожидание не равно истинному значению дисперсии. Подробней об этом здесь. В то же время не все так плохо.
При увеличении объема выборки она все-таки приближается к своему теоретическому аналогу, т.е. является асимптотически не смещенной. Поэтому при работе с большими размерами выборок можно использовать формулу выше.
Язык знаков полезно перевести на язык слов. Получится, что дисперсия — это средний квадрат отклонений. То есть вначале рассчитывается среднее значение, затем берется разница между каждым исходным и средним значением, возводится в квадрат, складывается и затем делится на количество значений в данной совокупности.

Что характеризует коэффициент вариации

Для определения дисперсии нормального закона распределения ошибок в этом случае пользуются формулой: , где 2 — дисперсия,a — среднее арифметическое,n — число измерений параметра,ai — измеренное значение на i-м шаге. Среднеквадратическое отклонение Среднеквадратическое отклонение показывает абсолютное отклонение измеренных значений от среднеарифметического.
В соответствии с формулой для меры точности линейной комбинации средняя квадратическая ошибка среднего арифметического определяется по формуле: , где — среднеквадратическое отклонение,a — среднее арифметическое,n — число измерений параметра,ai — измеренное значение на i-м шаге. Коэффициент вариации Коэффициент вариации характеризует относительную меру отклонения измеренных значений от среднеарифметического: , где V — коэффициент вариации, — среднеквадратическое отклонение,a — среднее арифметическое.

Вариация (статистика)

Для полноты описания нужно понять, какой является разница между средним ростом каждого студента и средним значением. На первом этапе вычислим параметр дисперсии. Дисперсия в статистике (обозначается σ2 (сигма в квадрате)) – это отношение суммы квадратов разности среднего арифметического (μ) и значения члена ряда (Х) к числу всех членов совокупности (N).

В виде формулы это рассчитывается понятнее: Значения, которые мы получим в результате вычислений по этой формуле, мы будем представлять в виде квадрата величины (в нашем случае – квадратные сантиметры). Характеризовать рост в сантиметрах квадратными сантиметрами, согласитесь, нелепо. Поэтому мы можем исправить, точнее, упростить это выражение и получим среднеквадратичное отклонение формулу и расчёт, пример: Таким образом, мы получили величину стандартного отклонения (или среднего квадратичного отклонения) – квадратный корень из дисперсии.

Коэффициент вариации в статистике: примеры расчета

Разница между отдельным значением и средней отражает меру отклонения. В квадрат возводится для того, чтобы все отклонения стали исключительно положительными числами и чтобы избежать взаимоуничтожения положительных и отрицательных отклонений при их суммировании. Затем, имея квадраты отклонений, мы просто рассчитываем среднюю арифметическую. Средний – квадрат – отклонений. Отклонения возводятся в квадрат, и считается средняя.

Внимание

Разгадка заключается всего в трех словах. Однако в чистом виде, как, например, средняя арифметическая, или индекс, дисперсия не используется. Это скорее вспомогательный и промежуточный показатель, который необходим для других видов статистического анализа.

У нее даже единицы измерения нормальной нет. Судя по формуле, это квадрат единицы измерения исходных данных. Без бутылки, как говорится, не разберешься.

Статистические параметры

Было получено четыре коммерческих предложения цен: 2500 рублей, 2800 рублей, 2450 рублей и 2600 рублей. В первую очередь необходимо рассчитать среднеарифметическое значение цены Следующим шагом становится расчет среднеквадратичного отклонения Осталось только рассчитать коэффициент вариации Полученное значение коэффициента меньше 33%, следовательно, все собранные данные подходят для расчета стартовой цены контракта. Расчет НМЦК и коэффициента вариации оформляются в форме отчета, который становится обязательной частью закупочной документации. Коэффициент вариации – важный инструмент, позволяющий оценить правильность ценовых предложений, полученных от поставщиков. Поэтому при составлении документации заказчикам необходимо учитывать правила расчета этого показателя и особенности его применения.

Для чего нужен коэффициент вариации

Как доказать, что закономерность, полученная при изучении экспериментальных данных, не является результатом совпадения или ошибки экспериментатора, что она достоверна? С таким вопросом сталкиваются начинающие исследователи.Описательная статистика предоставляет инструменты для решения этих задач. Она имеет два больших раздела – описание данных и их сопоставление в группах или в ряду между собой. Оглавление:

• Показатели описательной статистики
• Среднее арифметическое
• Стандартное отклонение
• Коэффициент вариации
• Расчёты в Microsoft Ecxel 2016

В статистике под вариацией величин того или иного показателя в совокупности понимается различие его уровней у тех или иных единиц анализируемого состава в один и тот же период либо момент исследования. В том случае, когда выполняется анализ отличий величин показателя у одного и того же предмета, у одной и той же единицы совокупности в различные периоды или моменты времени, то это будет уже именоваться не вариацией, а колебаниями или изменениями в течении определенного периода.

Размещено на www.сайт

Для изучения таких колебаний применяются свои методы анализа, имеющие отличия от методов анализа вариации. Объективным фактором возникновения явления вариации выступает различие в условиях деятельности тех или иных исследуемых объектов совокупности. Например, на работу торгового предприятия оказывает влияние уровень конкуренции, налогов, применение передовых технологий в своей деятельности, состояние оборудования и т.п. Колеблемость характерна практически для всех природный явлений и граней общественной жизни. Однако имеются и неварьируемые показатели, которые образуются в случае фиксации тех или иных явлений в правовых актах. Например, не может варьировать количество генеральных директоров у предприятия, согласно законодательству он должен быть один. Такие неварьирующие объекты, как правило, не являются предметом или объектом статистического исследования. В нашей жизни колеблемость признаков выступает важным фактором, оказывающим на нее влияние. Например, изменение гаммы типоразмеров деталей позволяет сформировать оптимальный ассортимент, но при этом высокий уровень вариации в рамках одного типоразмера говорит о высоком уровне брака и необходимости внедрения соответствующих мероприятий. Значительный уровень вариации товарооборота или цен может свидетельствовать о монополизации рынка или о плохом управлении запасами и требовать соответствующих мер и т.п. Сказанное позволяет утверждать, что в общественной жизни, которая с точки зрения статистики выступает массовой совокупностью, объективно присутствует изменчивость различных признаков и элементов, что диктует актуальность исследования данного явления с применением специальных показателей для формирования оптимальных методов управления им. Коэффициент вариации является одним из таких показателей. При этом он относится к группе относительных показателей вариации. Рассматриваемый коэффициент - это относительный показатель, характеризующий отношение среднего квадратического отклонения к средней величине изучаемого признака, и выражается, как правило, в процентах. В указанном критерии отражается соотношение уровня влияния факторов, которые приводят к возникновению колеблемости, и общих условий всех элементов совокупности, которые порождают типическую величину признака - его среднее значение. Коэффициент вариации применяется для изучения степени изменчивости различных признаков одной и той же совокупности и изменчивости в различных совокупностях, которые обладают разными значениями средних величин.

Одним из основных статистических показателей последовательности чисел является коэффициент вариации. Для его нахождения производятся довольно сложные расчеты. Инструменты Microsoft Excel позволяют значительно облегчить их для пользователя.

Этот показатель представляет собой отношение стандартного отклонения к среднему арифметическому. Полученный результат выражается в процентах.

В Экселе не существует отдельно функции для вычисления этого показателя, но имеются формулы для расчета стандартного отклонения и среднего арифметического ряда чисел, а именно они используются для нахождения коэффициента вариации.

Шаг 1: расчет стандартного отклонения

Стандартное отклонение, или, как его называют по-другому, среднеквадратичное отклонение, представляет собой квадратный корень из . Для расчета стандартного отклонения используется функция СТАНДОТКЛОН . Начиная с версии Excel 2010 она разделена, в зависимости от того, по генеральной совокупности происходит вычисление или по выборке, на два отдельных варианта: СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В .

Синтаксис данных функций выглядит соответствующим образом:

СТАНДОТКЛОН(Число1;Число2;…)
= СТАНДОТКЛОН.Г(Число1;Число2;…)
= СТАНДОТКЛОН.В(Число1;Число2;…)

Шаг 2: расчет среднего арифметического

Среднее арифметическое является отношением общей суммы всех значений числового ряда к их количеству. Для расчета этого показателя тоже существует отдельная функция – СРЗНАЧ . Вычислим её значение на конкретном примере.

Шаг 3: нахождение коэффициента вариации

Теперь у нас имеются все необходимые данные для того, чтобы непосредственно рассчитать сам коэффициент вариации.

Таким образом мы произвели вычисление коэффициента вариации, ссылаясь на ячейки, в которых уже были рассчитаны стандартное отклонение и среднее арифметическое. Но можно поступить и несколько по-иному, не рассчитывая отдельно данные значения.

Существует условное разграничение. Считается, что если показатель коэффициента вариации менее 33%, то совокупность чисел однородная. В обратном случае её принято характеризовать, как неоднородную.

Как видим, программа Эксель позволяет значительно упростить расчет такого сложного статистического вычисления, как поиск коэффициента вариации. К сожалению, в приложении пока не существует функции, которая высчитывала бы этот показатель в одно действие, но при помощи операторов СТАНДОТКЛОН и СРЗНАЧ эта задача очень упрощается. Таким образом, в Excel её может выполнить даже человек, который не имеет высокого уровня знаний связанных со статистическими закономерностями.

Квадратный корень из дисперсии носит название среднего квадратического отклонения от средней, которое рассчитывается следующим образом:

Элементарное алгебраическое преобразование формулы среднего квадратического отклонения приводит ее к следующему виду:

Эта формула часто оказывается более удобной в практике расчетов.

Среднее квадратическое отклонение так же, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные значения признака от среднего их значения. Среднее квадратическое отклонение всегда больше среднего линейного отклонения. Между ними имеется такое соотношение:

Зная это соотношение, можно по известному показатели определить неизвестный, например, но (I рассчитать а и наоборот. Среднее квадратическое отклонение измеряет абсолютный размер колеблемости признака и выражается в тех же единицах измерения, что и значения признака (рублях, тоннах, годах и т.д.). Оно является абсолютной мерой вариации.

Для альтернативных признаков, например наличия или отсутствия высшего образования, страховки, формулы дисперсии и среднего квадратического отклонения такие:

Покажем расчет среднего квадратического отклонения по данным дискретного ряда, характеризующего распределение студентов одного из факультетов вуза по возрасту (табл. 6.2).

Таблица 6.2.

Результаты вспомогательных расчетов даны в графах 2-5 табл. 6.2.

Средний возраст студента, лет, определен по формуле средней арифметической взвешенной (графа 2):

Квадраты отклонения индивидуального возраста студента от среднего содержатся в графах 3-4, а произведения квадратов отклонений на соответствующие частоты - в графе 5.

Дисперсию возраста студентов, лет, найдем по формуле (6.2):

Тогда о = л/3,43 1,85 *ода, т.е. каждое конкретное значение возраста студента отклоняется от среднего значения на 1,85 года.

Коэффициент вариации

По своему абсолютному значению среднее квадратическое отклонение зависит не только от степени вариации признака, но и от абсолютных уровней вариантов и средней. Поэтому сравнивать средние квадратические отклонения вариационных рядов с различными средними уровнями непосредственно нельзя. Чтобы иметь возможность для такого сравнения, нужно найти удельный вес среднего отклонения (линейного или квадратического) в среднем арифметическом показателе, выраженном в процентах, т.е. рассчитать относительные показатели вариации.

Линейный коэффициент вариации вычисляют по формуле

Коэффициент вариации определяют по следующей формуле:

В коэффициентах вариации устраняется не только несопоставимость, связанная с различными единицами измерения изучаемого признака, но и несопоставимость, возникающая вследствие различий в величине средних арифметических. Кроме того, показатели вариации дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

По данным табл. 6.2 и полученным выше результатам расчетов определим коэффициент вариации, %, по формуле (6.3):

Если коэффициент вариации превышает 33%, то это свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Полученное в пашем случае значение говорит о том, что совокупность студентов по возрасту однородна по своему составу. Таким образом, важная функция обобщающих показателей вариации - оценка надежности средних. Чем меньше с1, а2 и V, тем однороднее полученная совокупность явлений и надежнее полученная средняя. Согласно рассматриваемому математической статистикой "правилу трех сигм" в нормально распределенных или близких к ним рядах отклонения от средней арифметической, не превосходящие ±3ст, встречаются в 997 случаях из 1000. Таким образом, зная х и а, можно получить общее первоначальное представление о вариационном ряде. Если, например, средняя заработная плата работника по фирме составила 25 000 руб., а а равна 100 руб., то с вероятностью, близкой к достоверности, можно утверждать, что заработная плата работников фирмы колеблется в пределах (25 000 ± ± 3 х 100) т.е. от 24 700 до 25 300 руб.

Показатели вариации

Понятие вариации

Вариация - это наличие различий у отдельных единиц сово­купности по какому-либо признаку.

Эта категория занимает особое место в статистической науке, ибо именно наличие вариации единиц совокупности предопределяет необходимость статистики. Если бы отдельные единицы сово­купности имели они и те же значения признаков (например, рост, возраст у всех живущих людей был бы одинаковый), то для изу­чения данной совокупности по этим признакам достаточно было бы изучить только одну единицу совокупности. Однако зачастую значения признаков колеблются, изменяются при переходе от од­ной единицы к другой. Как правило, вариация является порожде­нием следующих причин:

Своеобразие условий, в которых происходит развитие от­дельных единиц совокупности;

Неравномерность развития отдельных единиц.

Например, причиной вариации роста у отдельно взятых людей является генетическая особен­ность каждого организма (основная причина), особенности питания, экологическая обстановка и т.д.; вариация урожайности может быть вызвана климатическими, почвенными особенностями зоны про­израстания, режима и возможности полива, качеством посадочного материала и т.д.

Вариация существует во времени и в пространстве.

Под вариаци­ей в пространстве понимается колеблемость значений признака по отдельным территориям (урожайность пшеницы в разных ре­гионах).

Под вариацией во времени подразумевается объективное измене­ние значений признака в разные периоды (или моменты). Напри­мер, со временем изменяется средняя продолжительность пред­стоящей жизни, доходность предприятий отрасли, уровень по­требностей людей и т.д.

Изучение вариации имеет важное значение, так как вариация ха­рактеризует степень однородности совокупности. Однородность совокупности - необходимое условие при расчете большинства статистических показателей, в частности средних величин.

Показатели вариации

Показатели вариации являются необходимым дополнением при расчете средних величин, так как определяют степень однород­ности совокупности.

Система показателей вариации включает следующее:

Размах вариации;

Среднее квадратическое отклонение;

Дисперсия;

Коэффициент вариации.

Значение показателей вариации:

Характеризуются размеры вариации признака;

Показатели вариации дополняют систему средних величин, в которой затушевываются индивидуальные различия;

Показатели вариации позволяют охарактеризовать уровень однородности совокупности;

С помощью показателей вариации, путем сравнения вариа­ции у отдельных признаков (разных), есть возможность измерить взаимосвязь между этими признаками.

Первый показатель, так называемый размах вариации, - наи­более простой из показателей, характеризует абсолютные разме­ры изменения признака и определяется как разница максимально­го и минимального значений признака:

Несмотря на простоту расчета, этот показатель имеет важный не­достаток - учитывает только два приграничных значения. В случае аномальности одного или двух приграничных значений, он может исказить действительную вариацию совокупности.

Для того чтобы избавиться от этого недостатка, рассчитывают отклонение каждой индивидуальной величины от средней по со­вокупности. Таким образом, учитывается значение каждой еди­ницы совокупности. Для того чтобы охарактеризовать это откло­нение одним числом, рассчитывают среднюю из этих значений. Данный показатель носит название среднее абсолютное (линей­ное) отклонение и определяется следующим образом:

Простой вид;

- взвешенный вид (для сгруппированных данных);

где d(L) - среднее абсолютное (линейное) отклонение;

х - индивидуальное значение признака (варианта);

Среднее из значений признака;

п - численность совокупности;

f - частота.

Среднее линейное отклонение характеризует средний размер отклонений индивидуальных значений признака от средней вели­чины. Таким образом, он характеризует абсолютные размеры ва­риации, имеет те же единицы измерения, что и признак, вариа­цию которого характеризует.

Недостаток: ввиду того, что применяется модуль, затруднено проведение математических операций. Поэтому он применяется редко.

Для того чтобы избавиться от недостатка предыдущего показате­ля, разницу между индивидуальным значением и средней возве­дем в квадрат и затем извлечем корень квадратный из полученно­го среднего значения. Полученный показатель будет называться среднее квадратическое отклонение:

- простая.

- взвешенная.

Играет ту же роль, что и среднее абсолютное отклонение, но, имеет перед ним одно преимущество, а именно, с ним проще проводить математические операции. Ввиду этого в 90 случаях из 100 используется этот показатель.

Еще более удобный для математических преобразований показа­тель вариации - дисперсия, который представляет собой сред­нее квадратическое отклонение в квадрате:

- простая,

- взвешенная.

С помощью дисперсии и среднего квадратического отклонения измеряются взаимосвязи между различными признаками. Кроме того, по этим показателям можно сравнивать совокупности в смысле их однородности по одинаковым признакам.

Вывод об однородности совокупности позволяет сделать коэффициент вариации , который может быть рассчитан несколькими способами в зависимости от исходной информации:

Характеризует средний процент отклонений индивидуальных значений признака от средней величины.

,

,

,

где V – коэффициент вариации;

σ – среднее квадратическое отклонение;

d (L) – среднее линейное отклонение;

Х МО – мода (структурная средняя);

Х МЕ – медиана(структурная средняя).

Коэффициент вариации имеет большое значение. Он позволяет сравнивать уровень вариации по различным признакам и используется для характеристики однородности совокупности. Если коэффициент вариации меньше 33%, то совокупность однородна.

Пример расчета показателей вариации.

Распределение студентов вуза по возрасту характеризуются следующими данными (табл. 1):

Таблица 1

Рассчитайте показатели, характеризующие вариацию возраста студентов для каждой формы

обучения. Сравните полученные результаты.

Рассчитаем показатели вариации, характеризующие совокупность студентов очно-заочной формы

обучения.

1. Размах вариации:

R = x max – x min = 31 - 18,5 = 12,5 (лет)

2. Средняя арифметическая:

3. Среднее линейное отклонение:

Возраст отдельно взятого студента отклоняется от среднего по совокупности возраста - 27 лет - на 3 года. То есть можно утверждать, что возраст наибольшего числа студентов не будет выходить за границы интервала: от 24,3 до 30,4 лет.

27,36 - 3,07 < 27,36 < 27,36+ 3,07.

Среднее квадратическое отклонение:

Среднее квадратическое отклонение также характеризует абсолютную величину отклонения индиви­дуального значения от средней. Как правило, значение среднего квадратического отклонения больше среднего линейного отклонения.

Дисперсия:

=13,899

Характеризует квадрат отклонений индивидуального значения от средней величины. Коэффициент вариации:

Средний процент отклонений индивидуальных значений от средней величины составляет 13,6%. Со­вокупность однородна. Сделаем аналогичные расчеты по совокупности студентов дневного отделения. Получаем следующие результаты:

d(L) = 3,40

V = 21,9%

На основании приведенных расчетов можно сделать вывод о том, что совокупность студентов очно-заочного отделения более однородная.

Расчет показателей вариации - достаточно трудоемкий процесс. В некоторых случаях, когда имеется ряд показателей с равноот­стоящими моментами времени или равноинтервальный ряд рас­пределения, расчет может быть упрощен. Сокращенные способы расчета дисперсии базируются на знании свойств дисперсии. Свойства дисперсии:

Если от всех значений варианты х отнять (прибавить) по­стоянное число А, то дисперсия не изменится;

Если каждое значение варианты разделить (умножить) на постоянную величину к, то дисперсия уменьшится (увеличится) в к 2 раз.

Сокращенные способы расчета дисперсии:

2. Способ моментов – применяется только в случае равенства интервалов.