Поверхности вращения. Начертательная геометрия

Теорема.

Расстояние от точки до прямой , заданной точкой и направляющим вектором может быть найдено по формуле

.

А расстояние между двумя скрещивающимися прямыми находится по формуле

.

Поверхностью вращения называется поверхность, которая вместе с каждой своей точкой содержит всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой . Прямая , вокруг которой производится вращение, называется осью вращения . Вращение точки вокруг оси происходит в плоскости, перпендикулярной оси. В сечении поверхности вращения плоскостями, перпендикулярными оси вращения, получаются окружности, которые называются параллелями . Плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность вращения по линиям, называемым меридианами .

Теорема. В прямоугольной системе координат уравнение

есть уравнение поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси линии, заданной уравнениями

.

Цилиндрической поверхностью или цилиндром называется поверхность, которая вместе с каждой точкой содержит всю прямую, проходящую через точку , параллельно данному ненулевому вектору . Прямые, параллельные вектору и принадлежащие цилиндрической поверхности, называются образующими этой поверхности.

Цилиндрическая поверхность может быть образована следующим образом. Пусть - некоторая линия, а - ненулевой вектор. Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через некоторую точку линии параллельно вектору , будет цилиндрической. В этом случае линия называется направляющей это поверхности.

Если прямоугольная система координат выбрана так, что образующие цилиндрической поверхности второго порядка были параллельны оси , а направляющая в системе имела каноническое уравнение, то цилиндрические поверхности определяются следующим образом.

- эллиптический цилиндр;

- гиперболический цилиндр;

- параболический цилиндр;

-цилиндр, распавшийся на пару пересекающихся по оси плоскостей;

- цилиндр, распавшийся на пару параллельных плоскостей;

- цилиндр, представляющий собой пару слившихся плоскостей.

Эти уравнения называются каноническими уравнениями соответствующих цилиндрических поверхностей второго порядка.

Если в каноническом уравнении эллиптического цилиндра , то направляющей цилиндра служит окружность , лежащая в плоскости . В этом случае поверхность является цилиндром вращения .

Конической поверхностью или конусом с вершиной в точке называется поверхность, которая обладает тем свойством, что вместе с каждой своей точкой , отличной от точки , эта поверхность содержит прямую .

Прямые проходящие через вершину конуса и лежащие на нем, называются образующими этого конуса.

Рассмотрим в пространстве линию и точку , не лежащую на линии . Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через точку и через некоторую точку линии , является конической поверхностью с вершиной .

В этом случае линия называется направляющей .

Рассмотрим коническую поверхность с вершиной в начале прямоугольной системы координат , направляющая которой служит эллипс :

.

Найдем уравнение этой поверхности. Пусть точка , отличная от точки , принадлежит конусу . Тогда прямая пересечет направляющую в некоторой точке . Так как и векторы и коллинеарны, то найдется такое вещественное число , что , или в координатах:

Отсюда находим

.

Подставив полученные выражения в первое из равенств, после несложных преобразований найдем:

.

Итак, координаты любой точки конуса удовлетворяют этому уравнению. Нетрудно убедиться также, что если точка не принадлежит конусу, то ее координаты не удовлетворяют этому уравнению.

Таким образом, мы получили уравнение второй степени, поэтому конус называется конусом второго порядка. А само уравнение называется каноническим уравнением конической поверхности второго порядка .

В случае, когда направляющая конической поверхности второго порядка является окружностью, то есть когда , уравнение принимает вид

.

Поверхность, определяемая этим уравнением в прямоугольной системе координат, называется круговой конической поверхностью или круговым конусом.

Практические занятия:

Тема 1:

Тема 2:

Тема 3:

Тема 4:

Тема 5:

Тема 6:

Тема 7:

Тема 8:

Тема 9:

Тема 10:

Тема 11.

Тема 12.

Тема 13.

Тема 14.

Тема 15.

Самостоятельная работа студентов:

Тема 1: Бинарные операции на множестве. Понятие группы, кольца и поля. Примеры. Поле комплексных чисел. № 101 – 113, 17 – 18 б. ; № 2.8, 2.10, 2.13, 2.15-2.21, 18-20 б.

Тема 2: Операции над комплексными числами. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа. № 118 – 119, 136 – 140, 19 -20 б., № 2.22 – 2.23, 2.26 – 2.28, 2.46-2.50 , 20 – 23 б.

Тема 3: Перестановки и подстановки. Группа подстановок. Циклические подстановки. № 219 -221, 223, № 410 / 28 – 29, 55 -56 б. № 3.2 – 3.6, 3.38 / 26 – 27, 33 б

Тема 4: Матрицы и действия над ними. Определители второго и третьего порядка. № 235 – 240, 243 – 245, 231-232 /31-32 б., № 3.24-3.27, 3.30(1,2)/29-30б.

Тема 5: Определители и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка № 231–232, 266–267, 273–280, № 374, 31, 35–37, 48 б., № 442 / 61 б. , № 3.30–3.31 / 30–31 б., № 4.24–4.28 / 44-45 б.

Тема 6: Обратная матрица и методы ее вычисления. Матричные уравнения. № 400, 410–411 / 55–56 б. , № 3.38–3.40 / 33–34 б.

Тема 7: Системы линейных уравнений. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Метод Гаусса. Правило Крамера. № 443– 447 / 62 – 64 б. , № 4.18–4.19, 4.64 / 41 – 43, 51 б.

Тема 8: Многочлены от одной переменной НОД многочленов. Корни многочленов. Формулы Виета. Основная теорема алгебры и ее следствие. № 400– 402 / 53 – 54 б. , № 443–447, 449 / 62 – 64 б. № 3.55-3.59, 4.18 - 4.19, 4.64 /36-37, 41-43, 51 б.

Тема 9: Векторы. Базис векторного пространства. № 650, 167, 173 /89, 22 – 23 б. , № 11.59, 11.60, 11.65, 11.74 – 11.77, 11.81 – 11.86 / 123 – 125 б.

Тема 10: Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. 104, 114, 117, 118, 124, 424, 428, 445(1,3,6), 446(1,3), 454, 462, 468(1,3), 473, 487(1), 489(1,3) .

Тема 11. Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнений на плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух прямых. 279(а, в), 282(а, в), 289(а, в), 294(а), 552, 553.

Тема 12. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Вывод канонических уравнений. 376, 379, 392, 403, 477(а, в), 479, 486, 507(а), 515, 558(1,3), 559(1,3), 564(1, 3), 567, 584(1), 585(1), 598, 600(1).

Тема 13. Плоскость в пространстве. Различные виды уравнения плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. 756, 758(а, в), 764(а, в), 765(а, в), 767(а, в), 794(а, в), 796(а, в), 798, 713, 715, 718(1), 719(1), 728(1, 3), 730(1), 733(1, 3).

Тема 14. Прямая линия в пространстве. Различные виды уравнения. Взаимное расположение двух прямых. 1058(а), 1059(а, в), 1060(а), 1066(а), 1068(а), 1113(а), 1116(а), 1122(а) , 624(1, 3), 625(1,3), 630(1), 632, 645(1).

Тема 15. Поверхности 2-го порядка. Поверхности вращения. Цилиндрические поверхности. Конические поверхности. 1252, 1254(а, в), 1256 , 769, 770(1), 771, 775(1).

Возможно, самым простым способом создания трехмерной поверхности является вращение двумерного объекта, например прямой или плоской кривой вокруг оси в пространстве. Такие поверхности называются поверхностями вращения. Сначала для простоты предположим, что ось вращения совпадает с осью и положительно направлена. Предположим также, что объекты вращения - отрезок, прямая или плоская кривая - лежат на плоскости . Позднее мы рассмотрим метод, позволяющий избавиться от этих ограничений.

Самый простой объект, который можно вращать вокруг оси, - это точка. При условии, что точка не лежит на оси, вращение на угол породит окружность. Поворот на меньший угол даст дугу окружности.

Следующим по сложности является отрезок, параллельный, но не совпадающий с осью вращения. Вращение на угол породит в этом случае круговой цилиндр. Радиусом этого цилиндра является длина перпендикуляра, опущенного с отрезка на ось вращения. Длина цилиндра равна длине отрезка. Пример изображен на рис. 6-1.

Если отрезок и ось вращения компланарны и отрезок не параллелен оси вращения, то в результате вращения вокруг оси на угол мы получим усеченный круговой конус. Радиусы оснований усеченного конуса - длины перпендикуляров, опущенных с концов отрезка на ось вращения. Высота конуса - это длина спроецированного на ось вращения отрезка. Пример изображен на рис. 6-2.

И снова, если отрезок и ось вращения компланарны и отрезок перпендикулярен оси вращения, то в результате вращения на угол мы получим плоский диск. Если отрезок пересекает (или касается) ось вращения, то получится сплошной диск, в противном случае диск будет иметь круглое отверстие. Примеры изображены на рис. 6-3.

И наконец, если отрезок наклонен к оси вращения, т.е. некомпланарен, то вращение на угол породит однополостный гиперболоид (см. разд. 6-4 и 6-7).

Рис. 6-1 Цилиндрическая поверхность вращения. (а) Схема построения; (b) результат.

Рис. 6-2 Коническая поверхность вращения. (а) Схема построения; (b) результат.

Рис. 6-3 Диск в качестве поверхности вращения. (а) Схема построения; (b) результат.

Рис. 6-4 Поверхность вращения из замкнутой ломаной. (a) Схема построения; (b) результат.

Рис. 6-5 Бипараметрическая поверхность вращения.

Для создания поверхностей вращения могут быть также использованы замкнутые и незамкнутые ломаные. На рис. 6-4 представлен конус с цилиндрическим отверстием.

Параметрическое уравнение точки на поверхности вращения можно получить, если вспомнить, что параметрическое уравнение вращаемого объекта, например

есть функция одного параметра . Вращение вокруг оси приводит к тому, что координаты зависят также от угла поворота. Таким образом, точка на поверхности вращения определяется двумя параметрами и . Как показано на рис. 6-5, это бипараметрическая функция.

Для рассматриваемого частного случая, т. е. вращения вокруг оси объекта, расположенного в плоскости , уравнение поверхности записывается

Заметим, что здесь координата не меняется. В качестве иллюстрации приведем пример.

Пример 6-1 Простая поверхность вращения Рассмотрим отрезок с концами и , лежащий в плоскости . Вращение отрезка вокруг оси породит коническую поверхность. Определим на поверхности координаты точки с параметрами , . Параметрическое уравнение отрезка, соединяющего и , имеет вид с декартовыми координатами . Используя уравнение (6-1), получим точку на поверхности вращения .

Вращение плоских кривых также порождает поверхности вращения. Как показано на рис. 6-6а, сфера получается в результате вращения вокруг оси расположенной в плоскости полуокружности, центрированной относительно начала координат. Вспомнив параметрическое уравнение окружности (см. разд. 4-5)

получим параметрическое уравнение сферы

Рис. 6-6 Поверхности вращения. (а) Сфера; (b) эллипсоид.

Если вместо окружности подставить параметрическое уравнение центрированного полуэллипса, расположенного в плоскости , получится эллипсоид вращения. Напомнив параметрическое уравнение полуэллипса (см. разд. 4-6)

получим для любой точки эллипсоида следующее параметрическое уравнение:

При уравнение (6-3) превращается в уравнение (6-2) для сферы. Эллипсоид вращения показан на рис. 6-66.

Если ось вращения не проходит через центр окружности или эллипса, то в результате вращения получается тор с сечением в виде окружности или эллипса, соответственно. Параметрическое уравнение эллипса на плоскости с центром, не совпадающим с началом координат, выглядит так

где - это , - координаты центра эллипса, тогда параметрическое уравнение для любой точки тора имеет вид:

где , . Если , то уравнение (6-4) задает тор с сечением в виде окружности. Если , то получится тор с сечением в виде эллипса. На рис. 6-7 представлены оба типа торов.

Рис. 6-7 Торы. (а) С сечением в виде окружности; (b) с сечением в виде эллипса.

Параболоид вращения получается при вращении параметрической параболы (см. разд. 4-7)

Гиперболоид вращения получается при вращении параметрической гиперболы

вокруг оси . Параметрическая поверхность задается уравнением

Примеры показаны на рис. 6-8.

Для создания поверхности вращения можно использовать любую параметрическую кривую, например кубический сплайн, параболический сплайн, кривую Безье и В-сплайн. На рис. 6-9 изображена поверхность вращения, созданная из относительно простого параболического сплайна. На рис. 6-10 изображен бокал, созданный как поверхность вращения с помощью незамкнутого В-сплайна.

Рис. 6-8 Поверхности вращения. (а) Параболоид; (b) гиперболоид.

Рис. 6-9 Поверхность вращения из параболически интерполированной кривой. (а) Создание кривой; (b) поверхность.

Заметим, что бокал имеет как внутреннюю, так и внешнюю стороны. Вращение производится относительно оси .

Рис. 6-10 В-сплайн поверхность вращения. (а) Вершины ломаной; (b) В-сплайн; (с) поверхность.

Напомним, что в матричной форме параметрическая пространственная кривая (см. уравнения (5-27), (5-44), (5-67) и (5-94)) задается следующим образом:

,

где , и - соответственно матрица параметров, матрица функций смешивания и геометрическая матрица. Таким образом, в общей форме матричное уравнение поверхности вращения записывается в виде:

, (6-7)

где представляет вклад вращения вокруг оси на угол . Для частного случая вращения вокруг оси имеем:

. (6-8)

Эти методы иллюстрируются в следующем примере.

Пример 6-2 Поверхность вращения, созданная по параболической кривой Рассмотрим параболическую кривую, заданную точками , , , . Будем вращать эту кривую вокруг оси на угол , чтобы получить поверхность вращения. Найдем на поверхности точку с параметрами , . Из уравнений (6-7) и (6-8) получим параметрическое уравнение поверхности вращения , где , , и задаются уравнениями (5-44), (5-52) и (5-53) соответственно. Конкретнее, . Рис. 6-11 Поверхность вращения вокруг произвольной оси. Результаты изображены на рис. 6-9. Такая поверхность может быть результатом разработки кубка или даже газового канала двигателя или ракетного сопла.

Предыдущие результаты были получены путем вращения точки, отрезка, ломаной или кривой вокруг координатной оси, а именно вокруг оси . К более общему случаю поворота вокруг произвольной оси в пространстве поверхность вращения, полученную в более удобной локальной системе координат, можно свести с помощью переносов и поворотов, приводящих поверхность в нужное положение.

На рис. 6-11 показана параметрическая кривая , повернутая вокруг произвольной оси в пространстве, проходящей через точки и и направленной от к . После того как поверхность создана в удобной системе координат для приведения поверхности вращения в нужное положение, нужно совершить следующие действия:

1. Перенести точку в начало координат.

2. Выполнить повороты, необходимые для совмещения осей и (см. разд. 5-9).

3. Повернуть вокруг оси на угол для совмещения осей и .

Эти три шага необходимы только для того, чтобы найти обратное преобразование, размещающее поверхность вращения в нужном месте в трехмерном пространстве. Получив поверхность вращения вокруг оси , приведем ее в нужное положение в пространстве:

1. Сдвинуть по оси , чтобы переместить центр поверхности вращения в нужное положение на оси .

2. Применить к поверхности вращения преобразование, обратное к суммарному преобразованию поворотов.

3. Применить к поверхности вращения обратный перенос точки .

Точка на поверхности вращения тогда задается уравнением:

где , , задаются уравнениями (3-22)-(3-24). задается уравнением (3-8), и матрица задается в форме уравнения (6-7) с геометрической матрицей , представленной в однородных координатах. теперь является матрицей , заданной в виде

. (6-10)

Данный метод иллюстрируется на следующем примере.

Пример 6-3 Поверхность вращения вокруг произвольной оси Найдем координаты точки с параметрами , на поверхности вращения, образованной вращением эллипса с главной осью, наклоненной относительно оси вращения. Ось вращения проходит через центр эллипса и лежит в плоскости эллипса. Угол наклона . Полуоси эллипса , . Ось проходит через точки и . Центр эллипса находится в точке .

Формальное дифференцирование уравнения (6-7) дает параметрические производные для поверхности вращения. А именно, производная в осевом направлении равна

а производная в радиальном направлении

, (6-12)

где штрих обозначает соответствующее дифференцирование.

Нормаль к поверхности задается векторным произведением параметрических производных, т.е.

А. Поверхности вращения общего вида (рис. 157).

Поверхностью вращения общего вида называют поверхность, которая образуется произвольной кривой (плоской или пространственной) при ее вращении вокруг неподвижной оси .

В состав определителя поверхности вращения входит образующая g, ось вращения i и условие о том, что эта образующая вращается вокруг оси i:

Ф (g, i); .

Каждая точка образующей (А, В, С, D, Е) при вращении вокруг оси i описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называют параллелями . Наибольшую и наименьшую параллель называют соответственно экватором и горлом (шейкой).

Плоскости α, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными , а линии, по которым они пересекают поверхность, - меридианами .

Меридиональную плоскость α 1 , параллельную плоскости проекции, принято называть главной меридиональной плоскостью , а линию ее пересечения с поверхностью вращения - главным меридианом *.

Задание поверхности вращения на эпюре Монжа проекциями геометрических фигур, входящих в состав его определителя, хотя и однозначно определяет поверхность, но обладает одним недостатком, заключающимся в том, что при таком задании трудно представить форму поверхности. Поэтому при задании поверхности вращения обычно указывают проекции ее оси, главного меридиана и экватора (иногда указывают окружность, по которой поверхность вращения пересекается с плоскостью проекции).

При этом указывают только горизонтальную проекцию экватора (или параллели) и фронтальную проекцию главного меридиана**.

Б. Частные виды поверхностей вращения.

В технике, в частности в машиностроении, поверхности вращения находят широкое применение. Это объясняется распространенностью вращательного движения и простотой обработки поверхностей вращения на станках. Особенно распространены поверхности, имеющие в меридиональном сечении кривую второго порядка или две прямые, на которые распадается эта кривая.

Рассмотрим некоторые частные виды поверхностей вращения. Возьмем в качестве образующей окружность. В зависимости от взаимного расположения окружности (или ее дуги) и оси вращения можно получить различные поверхности.

Тором называется поверхность, которая может быть получена при вращении окружности g вокруг оси i, не проходящей через ее центр О ***.

В зависимости от соотношения величин R - радиуса образующей окружности и расстояния t от центра окружности до оси вращения поверхности тора подразделяют на:

открытый тор (или кольцо) при R

закрытый тор при R ≥ t - окружность пересекает ось вращения или касается ее (табл. 7, рис. 158,6).

Сфера образуется в том случае, когда центр окружности принадлежит оси вращения О ∈ i, т. е. сферу можно рассматривать как частный случай тора, у которого t = 0 (табл. 7, рис. 158,в).

3. Глобоид.

Образующей этой поверхности является дуга окружности, плоскость которой может, в общем случае, не совпадать с осью вращения (табл. 7, рис. 158,г). Чертежи на рис. 162 дают представление об ор-

* На рис. 157 показаны не меридиональные плоскости α и α 1 , а полуплоскости, расположенные по одну сторону от оси вращения i. Соответственно на рисунке показаны только половина меридиана и главного меридиана.

** Здесь речь идет о поверхности, ось вращения которой i ⊥ π 1 . Если ось вращения (i ⊥ π 2 , то следует указывать фронтальную проекцию экватора и горизонтальную проекцию главного меридиана.

Поверхность тора может быть получена и в том случае, когда плоскость окружности пересекает ось поверхности. Следует иметь в виду, что в отличие от остальных поверхностей вращения, ббразующая которых - кривая второго порядка (или прямая), поверхность тора является поверхностью не второго, а четвертого порядка.

Таблица 7. Поверхности вращения; частные виды. Подкласс 2. Ф (g, i); .

тогональных проекциях тора (рис. 162,а и б), сферы (рис. 162,в), глобоида (рис. 162,г). Так как поверхности вращения, изображенные на рис. 162, симметричны относительно оси i, то при i ⊥ π 1 их горизонтальные проекции симметричны относительно горизонтальной оси; поэтому можно вычерчивать не всю горизонтальную проекцию, а лишь ее половину, как это сделано на рис. 162 (конечно, если условия задачи не требуют изображать ее полностью).

4. Эллипсоид вращения.

Этот вид поверхности образуется при вращении эллипса вокруг его оси, при этом, если за ось вращения принять малую ось , то получим сжатый эллипсоид вращения (рис. 159,с); когда вращение осуществляется вокруг большой оси [АВ] , образуется поверхность вытянутого эллипсоида вращения (рис. 159,6).

Рассмотренные поверхности вращения: тор, сфера, эллипсоид относятся к замкнутым поверхностям. Кроме замкнутых поверхностей вращения существуют незамкнутые поверхности, которые образуются, в частности, при вращении параболы, гиперболы и прямой (линий, имеющих несобственные точки).

5. Параболоид вращения.

Для того чтобы получить параболоид вращения, в определителе поверхности вращения за образующую g следует принять параболу, а за ось вращения i - ее ось (рис. 160). Для задания параболоида вращения на эпюре Монжа достаточно указать проекции образующей g и оси i.

6. Гиперболоид вращения.

При вращении гиперболы можно получить две различные поверхности:

а) однополостный гиперболоид вращения *, образуется при вращении гиперболы g вокруг ее мнимой оси i 1 (рис. 161,а);

б) двуполостный гиперболоид вращения, образуется при вращении гиперболы вокруг ее действительной оси i (рис. 161,6).

7. Коническая и цилиндрическая поверхности вращения.

Эти поверхности можно получить путем вращения прямой g вокруг оси i. Коническая и цилиндрическая поверхности были подробно рассмотрены в § 35 (см. рис. 147, 151 и 148, 152).

В числе кривых поверхностей - линейчатых и нелинейчатых - имеются широко распространенные в практике поверхности вращения. Поверхностью вращения называют поверхность, получаемую от вращения какой-либо образующей линии вокруг неподвижной прямой - оси поверхности 1).

Поверхность вращения можно задать образующей и положением оси. На рис. 330 показана такая поверхность. Здесь образующей служит кривая ABC, осью - прямая OO 1 , расположенная в одной плоскости с ABC. Каждая точка образующей описывает окружность. Таким образом, плоскость, перпендикулярная к оси поверхности вращения, пересекает эту поверхность по окружности. Такие окружно

1) В процессе образования поверхности вращения ось неподвижна.

сти называются параллелями . Наибольшую из параллелей называют экватором , наименьшую - горлом поверхности 1).

Плоскость, проходящую через ось поверхности вращения, называют меридиональной плоскостью . Линия пересечения поверхности вращения меридиональной плоскостью называется меридианом поверхности .

Можно назвать вершиной поверхности вращения точку пересечения меридиана этой поверхности с ее осью, если в пересечении не образуется прямой угол.

Если ось поверхности вращения параллельна пл. π 2 , то меридиан, лежащий в плоскости, параллельной пл. π 2 , называется главным меридианом . При таком положении главный меридиан проецируется на пл. тс 2 без искажения. Если ось поверхности вращения перпендикулярна к пл. π 1 то горизонтальная проекция поверхности имеет очерк в виде окружности. Наиболее целесообразным с точки зрения изображений является перпендикулярность оси поверхности вращения к пл. π 1 или к π 2 , или к π 3 .

Некоторые поверхности вращения представляют собой частные случаи поверхностей, рассмотренных в § 50. Таковы: 1) цилиндр вращения, 2) конус вращения, 3) гиперболоид вращения однополостный, 4) эллипсоид вращения, 5) параболоид вращения, 6) гиперболоид вращения двуполостный.

Для цилиндра и конуса вращения меридианы являются прямыми линиями - в первом случае параллельными оси и равноудаленными от нее, во втором случае пересекающими ось в одной и той же ее точке под одним и тем же углом к оси. Так как цилиндр и конус вращения - поверхности, бесконечно простирающиеся в направлении их образующих, то на изображениях обычно их ограничивают какими-либо линиями, например следами этих поверхностей на плоскостях проекций или какой-либо из параллелей. Известные из стереометрии прямой круговой цилиндр и прямой круговой конус ограничены поверхностью вращения и плоскостями, перпендикулярными к ее оси. Меридианы такого цилиндра - прямоугольники, а конуса - треугольники.

Для гиперболоида вращения меридианом является гипербола, причем, если осью вращения служит действительная ось гиперболы, то образуется двуполостный гиперболоид вращения; если же вращать гиперболу вокруг ее мнимой оси, то однополостный .

Однополостный гиперболоид вращения может быть образован также вращением прямой линии в случае, если образующая и ось вращения - скрещивающиеся прямые.

На рис. 331 показан однополостный гиперболоид вращения, образованный вращением прямой АВ вокруг указанной оси и ограниченный двумя параллелями; окружность, проведенная из центра 0 1 есть горло поверхности.

На однополостном гиперболоиде вращения можно нанести прямолинейные образующие в двух направлениях, например так, как показано на рис. 331, и с наклоном в обратную сторону, под тем же углом к оси.

Кроме прямых (пар) на этой поверхности могут быть еще гиперболы, параболы, эллипсы и окружности.

1) Точнее, экватором называют ту из параллелей, которая больше соседних с нею параллелей по обе стороны от нее, рассматриваемых до первого горла; горло - наименьшая из соседних параллелей до первого экватора. Отсюда поверхность вращения может иметь несколько экваторов и горл.

На рис. 331 справа показано построение фронтальной проекции однополостного гиперболоида вращения по его оси и образующей. Прежде всего найден радиус горла поверхности. Для этого проведен перпендикуляр О" 1 1" к горизонтальной проекции образующей. Этим определена горизонтальная проекция общего перпендикуляра к оси и образующей. Натуральная величина отрезка, выраженного проекциями O" 1 1" и О" 1 1", равна радиусу горла поверхности. Далее, путем поворота точки c проекциями 2",2";3",3";A",A" выведены в плоскость α,параллельную пл. π 2 , что

дает возможность провести очерковую линию фронтальной проекции гиперболоида. Горизонтальная его проекция представит собой три концентрические окружности.

Для параболоида вращения меридианом является парабола , ось которой служит осью поверхности.

Для эллипсоида вращения меридианом является эллипс . Поверхность может быть образована вращением эллипса вокруг его большой оси («вытянутый» эллипсоид вращения - рис. 332, слева) или вокруг его малой оси («сжатый» эллипсоид вращения - рис, 332, справа). Эллипсоид вращения - поверхность ограниченная; она может быть изображена полностью. Также полностью может быть изображена и сфера. Для сферы экватор и меридианы - равные между собой окружности.

Обратим еще раз внимание на то, что такие поверхности вращения, как цилиндр, конус и однополостный гиперболоид, являются линейчатыми, т. е. их можно

образовать вращением прямой линии 1). Но эллипсоид, параболоид и двуполостный гиперболоид образуются при вращении не прямой, а эллипса, параболы и гиперболы, причем ось вращения выбирается так, чтобы образующая кривая располагалась симметрично по отношению к этой оси. То же можно сказать и относительно однополостного гиперболоида вращения, если он образуется в результате вращения гиперболы вокруг ее мнимой оси.

Так как ось вращения выбирается совпадающей с осью симметрии эллипса, параболы, гиперболы, то эллипс и Гипербола образуют по две поверхности, так как у них по две оси симметрии, а парабола - одну поверхность, так как у нее одна ось симметрии, Следовательно, каждая из образуемых поверхностей получается только при вращении одним способом. Между тем сфера, которую можно рассматривать как эллипсоид при равных большой и малой осях образующего эллипса, переходящего при этом в окружность, может быть образована вращением более чем одним

способом: образующая окружность симметрична относительно каждого из ее диаметров.

При вращении окружности (или ее дуги) вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр, получается поверхность с названием тор 2). Так называют и тело, ограниченное тором - поверхностью.

Различают (рис. 333):

1) открытый тор, иначе круговое кольцо,

2) замкнутый,

3) самопересекающийся.

На рис. 333 они изображены в простейшем положении: ось тора перпендикулярна к плоскости проекций, в данном случае к пл. π 1 .

Образующей для открытого и замкнутого торов служит окружность, для самопересекающегося - дуга окружности. В открытый и замкнутый торы могут быть вписаны сферы. Тор можно рассматривать как поверхность, огибающую одинаковые сферы, центры которых находятся на окружности.

Тор имеет две системы круговых сечений: в плоскостях, перпендикулярных к его оси, и в плоскостях, проходящих через ось тора 3).

1) Закономерность в расположении прямолинейных образующих однополостного гиперболоида вращения применена в конструкции, известной под названием «башня Шухова». В. Г. Шухов (1853 - 1939) - один из выдающихся русских инженеров. «Башня Шухова» применяется в устройстве радиомачт, водонапорных башен и др.

2) Фр. tore (от torus (лат.) - выпуклость, узел) - кольцеобразный выступ на колонне.

3) Существует третья система круговых сечений открытого тора, которая в книге не рассматривается.

Поверхность, называемая тором, весьма часто встречается в машиностроении и архитектуре. На рис. 334 слева изображена деталь, поверхность вращения которой содержит самопересекающийся тор и открытый тор, а справа на том же рисунке показана схематически

поверхность перехода от одного цилиндрического свода к другому, имеющая форму замкнутого тора с осью ОО 1

Из поверхностей вращения упомянем еще катеноид 1). Эта поверхность образуется при полном обороте цепной линии 2) вокруг лежащей с ней в одной плоскости горизонтальной оси.

Положение точки на поверхности вращения определяется при помощи окружности, проходящей через эту точку на поверхности вращения.

Но это не исключает возможности применять прямолинейные образующие в случае линейчатых поверхностей вращения, подобно тому, как это показано на рис. 314 для цилиндров и конусов общего вида.

На рис. 330 показано применение параллели для построения проекции точки, принадлежащей данной поверхности вращения. Если дана проекция М", то проводим фронтальную проекцию F"F" 1 параллели, а затем радиусом R = O" 1 F" проводим окружность - горизонтальную проекцию параллели - и на ней находим проекцию М". Если бы была задана проекция М", то следовало бы провести радиусом R = O" 1 F" окружность, по точке F" найти F" и провести F"F" 1 - фронтальную проекцию параллели, на которой должна быть проекция М". На рис, 332 показано построение проекций точки К, принадлежащей эллипсоиду вращения, а на рис. 335 - точки М, принадлежащей поверхности кругового кольца.

На рис. 335 справа показано нахождение проекций точек на сфере. По данной проекции А" точки А построена фронтальная проекция А"; по данной проекции В" найдена горизонтальная проекция В" точки В, удовлетворяющей дополнительному условию, что точка В невидима, если смотреть на пл. π 2 .

Точка С задана на экваторе: ее проекция С" находится на очерке горизонтальной проекции сферы, т. е. на горизонтальной проекции экватора. Точки К и М лежат на главном меридиане; они принадлежат параллелям, на которых находятся точки А и В. Точка D также находится на главном меридиане, причем она невидима, если смотреть на пл. π 1 .

Рассмотрим пример построения проекций точек, принадлежащих поверхности вращения. Пусть требуется привести точку А, вращая ее вокруг данной оси MN, на заданную поверхность вращения (рис. 336, а). Так как в данном случае ось поверхности вращения и ось вращения точки А перпендикулярны к плоскости проекций π 1 , то окружность вращения точки А проецируется на π 1 без искажения, равно как и та параллель поверхности вращения, которая получается при пересечении этой поверхности плоскостью вращения точки А. В этой плоскости расположен и центр вращения точки А - точка О (точка пересечения оси вращения MN с плоскостью вращения α). Остальное ясно из чертежа. В положении А 2 на поверхности точка окажется невидимой на пл. π 2 .

2) Catena (лат.) - цепь.

2) Цепная линия - кривая, форму которой принимает цепь, подвешенная в ее двух точках, или вообще тяжелая нерастяжимая нить, подвешенная за ее концы.

Положим, что будет поставлен вопрос о выборе оси вращения для того, чтобы далее точка А могла оказаться на заданной поверхности вращения, На с. 100 был рассмотрен аналогичный вопрос, но там требовалось выбрать ось, чтобы поворотом вокруг нее можно было ввести точку в плоскость, Тогда было установлено, что имеется зона, в которой нельзя брать оси, так как при повороте вокруг таких осей точка не соприкоснется с плоскостью. Эта зона определялась параболическим цилиндром, причем парабола возникла при рассмотрении взаимного положения вращаемой точки и прямой, на которой эта точка должна была бы оказаться, соприкоснувшись с плоскостью.

Теперь, очевидно, вопрос будет, решаться при рассмотрении взаимного положения точки А и окружности (параллели) на поверхности тела вращения,

Из рис. 336, а следует, что проекция О" центра вращения должна быть расположена так, чтобы R A не был меньше расстояния точки О" до ближайшей точки на проекции окружности радиуса r, Если же взять точку О" на равных расстояниях от А" и от проекции этой окружно

сти (например, в О" 1 или O" 2 ; см. рис, 336,6), то в ней уже можно установить ось вращения; окружность вращения точки А коснется окружности радиуса r, т, е, точка А соприкоснется с поверхностью вращения.

Где на чертеже лежат все точки, одинаково удаленные от точки А" и от окружности радиуса r? Они расположены на гиперболе (рис, 336,6), для которой точка А" служит одним из фокусов, точка О" 1 , в которой отрезок А"1" делится пополам, - одной из вершин. Если разделить отрезок А"З" пополам, то мы получим вторую вершину гиперболы (точка О" 3); второй фокус расположится в точке С", т. е. в центре окружности, полученной при пересечении поверхности тела вращения плоскостью α (рис. 336, а).

Из рассмотренного вытекает, что точки, расположенные на обеих ветвях гиперболы или между ними, могут быть выбраны каждая в качестве горизонтальной проекции оси вращения.

Может быть случай, когда точка находится внутри поверхности вращения. Следовательно, проводя через точку плоскость вращения, мы получим проекцию А" внутри проекции окружности радиуса r, по которой плоскость вращения точки А пересекает поверхность вращения (рис, 336, в). И на этот раз очевидно, что R A не должен быть меньше расстояния точки О" (т, е, проекции оси) до ближайшей точки проекции окружности радиуса r. Предельные положения проекций осей расположатся теперь как точки эллипса с фокусами в точках А" и С", с большой осью на прямой 1"З", с вершинами в точках O" 3 и O" 3 . Внутри этого эллипса не следует брать проекции осей; такие оси не дадут возможности ввести точку А в поверхность вращения,

Итак, вопрос, как выбрать ось вращения, чтобы, вращая вокруг нее точку, ввести эту точку в плоскость или в поверхность вращения, ось которой параллельна оси вращения, привел нас к эллипсу (рис. 336, в), -параболе (рис, 244), гиперболе (рис. 336,6) как геометрическим местам центров вращения.

При решении различных задач применяются те или иные поверхности в качестве геометрических мест точек или линий, отвечающих определенным условиям. Например, заданы пл. α и точка К вне этой плоскости; определить, как расположатся в пл. α точки, отстоящие от точки К на заданное расстояние r (расстояние r больше, чем расстояние точки К до пл. α). В данном случае решение связано с применением сферы как геометрического места точек, отстоящих от точки К на расстояние r, Плоскость α пересечет эту сферу по окружности, которая,и даст решение задачи.

Если бы требовалось построить в пл. α точки, отстоящие на расстояние r не от точки, а от некоторой прямой АВ, не лежащей в пл. α, то геометрическим местом таких точек в пространстве оказалась бы поверхность цилиндра вращения с осью АВ и радиусом r, а искомые в пл. α точки получились бы на линии пересечения этого цилиндра пл. α.

В дальнейшем на рис. 368 справа и 401 можно видеть примеры применения конических поверхностей вращения как геометрических мест прямых, проходящих через заданную точку.

Если в задаче поставлен вопрос о точках, равноотстоящих от заданных плоскости α и точки М, то в качестве геометрического места таких точек в пространстве следовало бы использовать параболоид вращения с фокусом параболы в точке М.

Применение тех или иных поверхностей в качестве геометрических мест, конечно, не исчерпывается приведенными примерами.

Вопросы к § 51

1. Что называется поверхностью вращения?
2. Чем можно задать поверхность вращения?
3. Что называется параллелями и меридианами на поверхностях вращения, экватором, горлом, главным меридианом?

1) Предлагаем читателю составить чертеж и выполнить решение этой и последующих задач.

4. Какая из осей гиперболы служит осью вращения для образования: а) однополостного, б) двуполостного гиперболоида вращения?
5. Можно ли образовать однополостный гиперболоид вращения при помощи прямой линии?
6. Какие поверхности вращения (кроме однополостного гиперболоида) являются линейчатыми?
7. Как образуется поверхность, называемая тором?
8. В каком случае для тора применяется название «круговое кольцо»?
9. Сколько систем круговых сечений имеет тор?
10. Как определяется положение точки на поверхности вращения?

Конус вращения представляет собой частный случай, когда его ось вращения / _L Определитель конуса вращения выражается формулой Ф (/", /), где / - прямолинейная образующая (рис. 152).

Построение точки на поверхности конуса является, как известно, простейшей задачей. Для построения недостающей проекции точки нужно провести линию на поверхности через эту точку. Для поверхностей вращения эти линии являются прямолинейными (для конуса - /) или криволинейными меридианами и круговыми параллелями р. Непрерывное множество меридианов образует непрерывный каркас прямолинейных образующих поверхности конуса. Проекции точек, принадлежащих поверхности конуса, удобно строить с помощью параллелей и меридианов. Если точки Nn М принадлежат образующей конуса SM, совпадающей на фронтальной плоскости проекций П 2 с проекцией оси / 2 , то на горизонтальной плоскости проекций n t следует их строить с помощью параллелир (рис. 152, а). Точно так же для повышения точности графического построения можно построить с помощью параллели р точку А, определенную на эпюре с помощью образующей АВ (рис. 152, б).

Рис. 152

Линии, которые образуются при пересечении поверхности прямого конуса с плоскостью, называются коническими сечениями.

Если плоскость, пересекающая прямой конус вращения, параллельна горизонтальной плоскости проекций П 1? то в сечении конической поверхности будет окружность, т.е. кривая идет по параллели. При пересечении плоскостью, которая не параллельна ни одной из его образующих, в сечении получится эллипс (рис. 153).

Фронтально проецирующая плоскость Е на фронтальной плоскости проекций П 2 рассекает конус по проекции большой оси 1 2 -2 2

Рис. 153

эллипса. Она проецируется без искажений. Точки 1 и 2 являются опорными. Через середину большой оси эллипса проведена вспомогательная секущая плоскость (3 || flj - горизонтальная плоскость уровня, пересекающая конус по параллели р". Эта параллель проецируется на Щ в натуральную величину. Проекционная линия связи в пересечении с проекцией параллели р" отметит на П j малую ось эллипса 3J-4J. На П! она проецируется в натуральную величину. Для построения промежуточных точек 5 и 6 кривой сечения вводим дополнительную секущую горизонтальную плоскость уровня у || П,.

Точки 7 и 8 построены как симметричные точкам 5 и 6 относительно малой оси 3-4 эллипса. Натуральная величина кривой сечения эллипса построена при помощи способа замены плоскостей проекций П,/П 2 -> П 2 /П 4 .

Если секущая плоскость - фронтально проецирующая плоскость I ± П 2 - параллельна одной образующей конуса, то в сечении конуса получается парабола (рис. 154).

Опорные точки 1 - вершина парабола, точки 2 и 3 - следы параболы на плоскости у основания конуса. На рис. 154 показана вспомогательная секущая плоскость уровня (3, с помощью которой построены промежуточные точки 4 и 5 аналогично алгоритму построения эллиптического сечения. Натуральная величина параболы построена с помощью способа замены плоскостей проекций.

Рис. 154 146

Гиперболическое сечение конуса получается, если секущая плоскость Е _L П 2 параллельна двум образующим конуса. При прохождении такой плоскости через вершину конуса точку S гипербола вырождается в две прямые (образующие конуса). Секущая плоскость Е параллельна двум образующим конуса SA и SB и пересекает конус по гиперболе (рис. 155).

Рис. 155

Секущая плоскость? пересекает коническую поверхность таким образом, что в сечении получаются две ветви гиперболы, имеющие одну действительную ось i и другую мнимую, перпендикулярную к i ось у. В точке О гипербола имеет две взаимно перпендикулярные асимптоты, которые касаются ветвей гиперболы в двух бесконечно удаленных точках и принадлежат плоскости гиперболы. Асимптоты гиперболы параллельны образующим SA и SB конуса. Проводим горизонтальную плоскость уровня Р || П] и строим точки 5 и 6. Далее строим точки 7 и 8 как симметричные точкам 5 и 6 относительно мнимой оси гиперболы j. Натуральную величину ветвей гиперболы строят с помощью замены плоскостей проекций.