Магнитное поле соленоида.

В уточнённой модели соленоида конечной длины учтём более реальный вид навивки тонкого провода на каркас соленоида. Основным токонесущим элементом конструкции будем считать винтовую линию. Рассмотрим соленоид с каркасом в форме цилиндрической поверхности, поперечное сечение которой является окружностью радиуса . Пусть продольная ось соленоида, как в предыдущем примере, совпадает с осью аппликат, координаты конечных сечений соленоида на оси аппликат имеют значения и , тонкий проводник намотан на каркас равномерно с шагом , то есть число витков на единицу длины соленоида составляет величину , по проводнику течёт ток .

Радиус-вектор точки наблюдения М по условию определен координатами:

Радиус-вектор расположения элемента контура с током опишем с помощью параметрического представления:

Легко видеть, что при возрастании величины параметра на величину радиус-вектор совершит полный оборот вокруг продольной оси соленоида и сместится на шаг навивки относительно исходного положения в пространстве. Будем считать, что электрический ток течет по проводнику в направлении, определяемом увеличением параметра . Проекции вектора на оси декартовой системы координат имеют вид:

(3)

В соответствии с дифференциальной формой закона Био-Савара-Лапласа (1) раздела 6.2 получаем проекции вектора магнитной индукции на оси декартовых координат для произвольной точки наблюдения:

(3)

, (4) . (5)

Как это ни удивительно, но уточнённая модель приводит к более простым зависимостям для проекций дифференциала вектора магнитной индукции: для расчёта величин проекций искомого вектора понадобится только однократное интегрирование по параметру . Пределы интегрирования определяются при этом условием, что тонкий проводник достиг крайнего сечения соленоида:

Выпишем квадратуры для проекций вектора магнитной индукции на оси декартовой системы координат для произвольной точки наблюдения:

, (7)

, (8)

. (9)

Численные значения проекций вектора магнитной индукции на оси декартовой системы координат легко вычисляются с помощью пакета символьных вычислений Maple, если заданы характеристики системы токов и координаты точки наблюдения. Ниже для определенности положим Проведем вычисления осевой составляющей индукции магнитного поля в сечении z=0 в зависимости от координаты x (радиальное направление!). Результаты расчета представлены на рис. 2. Здесь имеет смысл обратить внимание на небольшую неоднородность магнитного поля внутри соленоида (|x|<1) и наличие осевой составляющей магнитного поля вне соленоида (последнее характерно для соленоида конечных размеров).

В качестве второго примера вычислим распределение осевой составляющей магнитной индукции вдоль оси соленоида при сохранении параметров системы токов (рис. 3). Здесь можно отметить качественное совпадение результатов расчета с подобными результатами упрощенной модели соленоида (рис.2 предыдущего раздела).

На практике чаще всего параметр навивки - отношение шага навивки к радиусу поперечного сечения соленоида - не играет существенной роли, но в отдельных случаях подробный расчет может оказаться полезным.

6.2.6. Поверхностная модель земного магнетизма .

У.Гильберт 400 лет тому назад установил, что Земля является «большим магнитом»: поведение стрелки компаса на земной поверхности похоже на поведение намагниченной стрелки в окрестности экспериментального магнитного шара. Во времена У.Гильберта ещё не было ни теории электричества, ни теории магнитного поля. В современных условиях интересно попробовать смоделировать образование магнитного поля Земли, играющего такую важную роль как обеспечении радиационной безопасности жизни на Земле, так и в практической навигации.

Допустим, что по поверхности сферы радиуса течёт ток постоянной по величине погонной плотности в азимутальном направлении. Величина погонной плотности тока определяется выражением

Здесь - дифференциал сила тока, - элемент дуги на поверхности сферы, перпендикулярный направлению тока, - дифференциал угловой координаты сферической системы координат.

Элемент длины «контура», связанного с описанным дифференциалом силы тока определяется выражением

, (2)

координаты точки расположения элемента имеют вид

, (3)

а его проекции на координатные направления декартовой системы координат

Если координаты точки наблюдения М определены проекциями радиус-вектора {x,y,z}, то не представляет труда выписать последовательно выражения для разности радиус-векторов точки наблюдения и точки расположения элемента контура с током, для модуля этой разности, для векторного произведения и получить зависимости для дифференциалов проекций вектора магнитной индукции в точке наблюдения:

(5)

Для реализации практических вычислений в приведенные соотношения вместо «штрихованных» величин необходимо подставить их выражения с использованием координат сферической системы координат (4).

В соответствии с принципом суперпозиции необходимо просуммировать вклад всех элементов «контуров» с током в величину каждой из проекций вектора магнитной индукции в точке наблюдения. Если декартовы координаты точки наблюдения записать с помощью сферических координат, то проекции вектора магнитной индукции на оси декартовой системы координат в точке наблюдения описываются следующими квадратурами:

Здесь , и - угловые координаты точки наблюдения в сферической системе координат.

Располагая полученными соотношениями, можно вычислить направляющие косинусы вектора магнитной индукции относительно исходной декартовой системы координат

, (7)

и записать уравнения для расчёта координат силовой линии в дифференциальной форме:

( для фиксированной точки силовой линии).

Интересно проанализировать зависимости «горизонтальной» и «вертикальной» составляющих вектора магнитной индукции над поверхностью несущей ток сферы от «северной широты» точки наблюдения. Численные результаты при этом таковы. На экваторе () горизонтальная составляющая поля направлена по меридиану в сторону «южного полюса», вертикальная составляющая равна нулю. На широте 45 0 () имеют место и горизонтальная, и вертикальная составляющие магнитного поля, причем абсолютная величина горизонтальной составляющей меньше, чем аналогичная величина на экваторе, а направленность в сторону южного полюса сохранилась. На «северном полюсе» () горизонтальная составляющая магнитного поля обращается в нуль, а вертикальная достигает максимального значения. Полученный результат объясняет причину трудностей определения местоположения в окрестности «северного полюса» сферы: компас теряет способность указывать направление на полюс.

6.2.7. Объёмная модель земного магнетизма .

Рассмотрим более сложную модель распределения электрического тока в земном шаре. Теперь нам предстоит рассчитать магнитное поле, образованное электрическим током, текущим в объёме сферы в азимутальном направлении с известной объёмной плотностью тока.

Допустим, что по объёму сферического тела радиуса течёт ток с постоянной по величине объёмно плотностью в азимутальном направлении. Элемент сила тока с учётом его направления в пространстве при этом можно описать с помощью выражения

В этом выражении - элемент объёма, в котором течёт ток, - координаты этого элемента объёма в сферической системе координат. Допустим, что координаты точки наблюдения имеют вид: { }. В соответствующей декартовой системе координат имеем

Соленоид представляет собой провод, навитый равномерно в виде спирали на общий цилиндрический каркас (см. рис. 12.14). Произведение (IN) числа витков однослойной намотки соленоида на силу тока, обтекающего витки, называется числом ампер-витков.

Соленоиды предназначены для создания в небольшом объеме пространства достаточно сильного магнитного поля. При плотной намотке витков поле соленоида эквивалентно полю системы круговых параллельных токов с общей осью. Если диаметр d витков соленоида во много раз меньше его длины (d  l), то соленоид считается бесконечно длинным (или тонким). Магнитное поле такого соленоида практически целиком сосредоточено внутри, причем вектор магнитной индукции внутри направлен вдоль оси соленоида и связан с направлением тока правилом правого винта.

Рис. 12.15

Рассмотрим воображаемый замкнутый контур внутри соленоида (рис. 12.15). Этот контур не охватывает токов, поэтому по теореме о циркуляции

Разобьем этот круговой интеграл на четыре интеграла (по сторонам контура) и учтем, что на отрезках (1-2) и (3-4) вектор перпендикулярен
, поэтому скалярное произведение (,
) здесь обращается в ноль. Индукция поля во всех точках отрезка (2-3) одинакова и равна 23 , а на отрезке (4-1)  41 , причем l 23 = l 41 = l.

Таким образом, обойдя контур по часовой стрелке, получим

Так как l  0, то В 23 = В 41 = В внутри.

Поскольку контур внутри соленоида был выбран произвольно, то полученный результат справедлив для любых внутренних точек соленоида, то есть поле внутри соленоида однородное:

внутри = const.

Чтобы найти величину индукции этого поля, рассмотрим контур L 2 (а –b –c –d –а ), охватывающий N витков с током (рис. 12.15). Согласно теореме о циркуляции (и на основании предыдущих рассуждений), получим соотношение

Поле снаружи бесконечно длинного соленоида очень слабое ( снаружи =0), им можно пренебречь, следовательно,

(12.35)

где n=N/l - число витков, приходящихся на единицу

длины соленоида.

Таким образом, индукция магнитного поля внутри бесконечно длинного соленоида одинакова по величине и направлению и пропорциональна числу ампер-витков, приходящихся на единицу длины соленоида.

Симметрично расположенные витки вносят одинаковый вклад в магнитную индукцию на оси соленоида, поэтому у конца полубесконечного соленоида на его оси магнитная индукция равна половине того значения, которое дает формула (12.35), т.е.

(12.36)

Практически, если (l  d ), то формула (12.35) справедлива для точек в средней части соленоида, а формула (12.36) – для точек на оси вблизи его концов.

Применяя закон Био-Савара-Лапласа, можно найти магнитную индукцию поля соленоида конечной длины (рис. 12.16) в произвольной точке А на его оси:

(12.37)

где
- углы между осью соленоида и радиус- вектором, проведенным из рассматриваемой точки к концам соленоида.

Поле такого соленоида неоднородное, величина индукции зависит от положения точки А и длины соленоида. Для бесконечно длинного соленоида
,
, и формула (12.37) переходит в формулу (12.35).

Соленоидом называется проводник, свитый спиралью, по которому пропущен электрический ток (рисунок 1, а ).

Если мысленно разрезать витки соленоида поперек, обозначить направление тока в них, как было указано выше, и определить направление магнитных индукционных линий по "правилу буравчика", то магнитное поле всего соленоида будет иметь такой вид, как показано на рисунке 1, б .

Рисунок 1. Соленоид (а ) и его магнитное поле (б )

Рисунок 2. Компьютерная модель соленоида

На оси бесконечно длинного соленоида, на каждой единице длины которого намотано n 0 витков, напряженность магнитного поля внутри соленоида определяется формулой:

H = I × n 0 .

В том месте, где магнитные линии входят в соленоид, образуется южный полюс, где они выходят - северный полюс.

Для определения полюсов соленоида пользуются "правилом буравчика", применяя его следующим образом: если расположить буравчик вдоль оси соленоида и вращать его по направлению тока в витках катушки соленоида, то поступательное движение буравчика покажет направление магнитного поля (рисунок 3).

Видео про соленоид:

Электромагнит

Соленоид, внутри которого находится стальной (железный) сердечник, называется электромагнитом (рисунок 4 и 5). Магнитное поле у электромагнита сильнее, чем у соленоида, так как кусок стали, вложенный в соленоид, намагничивается и результирующее магнитное поле усиливается. Полюсы у электромагнита можно определить, так же как и у соленоида, по "правилу буравчика".

Рисунок 5. Катушка электромагнита

Электромагниты широко применяются в технике. Они служат для создания магнитного поля в электрических генераторах и двигателях, в электроизмерительных приборах, электрических аппаратах и тому подобном.

В установках большой мощности для отключения поврежденного участка цепи вместо плавких предохранителей применяются автоматические, масляные и воздушные выключатели. Для приведения в действие отключающих катушек автоматических выключателей применяются различные реле. Реле называются приборы или автоматы, реагирующие на изменение тока, напряжения, мощности, частоты и прочих параметров.

Из большого числа реле, различных по своему назначению, принципу действия и конструкции, кратко рассмотрим устройство электромагнитных реле. На рисунке 6 представлены конструкции этих реле. Работа реле основана на взаимодействии магнитного поля, создаваемого неподвижной катушкой, по которой проходит ток, и стального подвижного якоря электромагнита. При изменении условий работы в цепи главного тока катушка реле возбуждается, магнитный поток сердечника подтягивает (поворачивает или втягивает) якорь, который замыкает контакты цепи, отключающей катушки привода масляных и воздушных выключателей или вспомогательных реле.

Рисунок 6. Электромагнитное реле

Реле нашли себе применение также в автоматике и телемеханике.

Магнитный поток соленоида (электромагнита) увеличивается с увеличением числа витков и тока в нем. Намагничивающая сила зависит от произведения тока на число витков (числа ампер-витков).

Если, например, взять соленоид, по обмотке которого проходит ток 5 А и число витков которого равно 150, то число ампер-витков будет 5 × 150 = 750. Тот же магнитный поток получится если взять 1500 витков и пропустить по ним ток 0,5 А, так как 0,5 × 1500 = 750 ампер-витков.

Увеличить магнитный поток соленоида можно следующими путями: 1) вложить в соленоид стальной сердечник, превратив его в электромагнит; 2) увеличить сечение стального сердечника электромагнита (так как при данных токе, напряженности магнитного поля, и стало быть, магнитной индукции увеличение сечения ведет к росту магнитного потока); 3) уменьшить воздушный зазор сердечника электромагнита (так как при уменьшении пути магнитных линий по воздуху уменьшается магнитное сопротивление).

Видео про электромагнит:

Соленоидом называют катушку цилиндрической формы из проволоки, витки которой намотаны вплотную в одном направлении, а длина катушки значительно больше радиуса витка.

Магнитное поле соленоида можно представить как результат сложения полей, создаваемых несколькими круговыми токами, имеющими общую ось. На рисунке 3 видно, что внутри соленоида линии магнитной индукции каждого отдельного витка имеют одинаковое направление, тогда как между соседними витками они имеют противоположное направление.

Поэтому при достаточно плотной намотке соленоида противоположно направленные участки линий магнитной индукции соседних витков взаимно уничтожаются, а одинаково направленные участки сольются в общую линию магнитной индукции, проходящую внутри соленоида и охватывающую его снаружи. Изучение этого поля с помощью опилок показало, что внутри соленоида поле является однородным, магнитные линии представляют собой прямые линии, параллельные оси соленоида, которые расходятся на его концах и замыкаются вне соленоида (рис. 4).

Нетрудно заметить сходство между магнитным полем соленоида (вне его) и магнитным полем постоянного стержневого магнита (рис. 5). Конец соленоида, из которого магнитные линии выходят, аналогичен северному полюсу магнита N , другой же конец соленоида, в который магнитные линии входят, аналогичен южному полюсу магнита S .

Полюсы соленоида с током на опыте легко определить с помощью магнитной стрелки. Зная же направление тока в витке, эти полюсы можно определить с помощью правила правого винта: вращаем головку правого винта по току в витке, тогда поступательное движение острия винта укажет направление магнитного поля соленоида, а следовательно, и его северного полюса. Модуль магнитной индукции внутри однослойного соленоида вычисляется по формуле

B = μμ 0 NI l = μμ 0 nl,

где Ν — число витков в соленоиде, I — длина соленоида, n — число витков, приходящееся на единицу длины соленоида.

Намагничивание магнетика. Вектор намагниченности.

Если по проводнику течет ток, то вокруг проводника создаётся МП. Мы пока рассматривали провода, по которым текли токи, находящиеся в вакууме. Если провода, несущие ток, находятся в некоторой среде, то м.п. изменяется. Это объясняется тем, что под действием м.п. всякое вещество способно приобретать магнитный момент, или намагничиваться (вещество становится магнетиком ). Вещества, намагничивающиеся во внешнем м.п. против направления поля называются диамагнетиками . Вещества, слабо намагничивающиеся во внешнем м.п. по направлению поля называются парамагнетиками Намагниченное в-во создаёт м.п. - , это м.п. накладывается на м.п., обусловленное токами - . Тогда результирующее поле: . (54.1) Истинное (микроскопическое) поле в магнетике сильно изменяется в пределах межмолекулярных расстояний. - усреднённое макроскопическое поле. Для объяснения намагничения тел Ампер предположил, что в молекулах вещества циркулируют круговые микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах. Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создаёт в окружающем пространстве м.п. Если внешнее поле отсутствует, то молекулярные токи ориентированы беспорядочным образом, и обусловленное ими результирующее поле равно 0. Намагниченностью называют векторную величину, равную магнитному моменту единицы объёма магнетика: , (54.3) где - физически бесконечно малый объём, взятый в окрестности рассматриваемой точки; - магнитный момент отдельной молекулы. Суммирование производится по всем молекулам, заключённым в объёме (вспомним где, - поляризованность диэлектрика, - дипольный элемент ). Намагниченность можно представить так: Токи намагничивания I" . Намагничивание вещества связано с преимущественной ориентацией магнитных моментов отдельных молекул в одном направлении. Элементарные круговые токи, связанные с каждой молекулой, называются молекулярными. Молекулярные токи оказываются ориентированными, т.е. возникают токи намагничивания - . Токи, текущие по проводам, вследствие движения в веществе носителей тока называют токами проводимости - . Для электрона движущегося по круговой орбите по часовой стрелке; ток направлен против часовой стрелки и по правилу правого винта направлен вертикально вверх. Циркуляция вектора намагниченности по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов намагничивания, охватываемых контуром Г. Дифференциальная форма записи теоремы о циркуляции вектора . Напряжённость магнитного поля (стандартное обозначение Н ) — векторная физическая величина, равная разности вектора магнитной индукции B и вектора намагниченности M . В СИ: где — магнитная постоянная . В простейшем случае изотропной (по магнитным свойствам) среды и в приближении достаточно низких частот изменения поля B и H просто пропорциональны друг другу, отличаясь просто числовым множителем (зависящим от среды) B = μ H в системе СГС или B = μ 0 μ H в системе СИ (см. Магнитная проницаемость , также см. Магнитная восприимчивость ). В системе СГС напряжённость магнитного поля измеряется в эрстедах (Э), в системе СИ — в амперах на метр (А/м). В технике эрстед постепенно вытесняется единицей СИ — ампером на метр. 1 Э = 1000/(4π) А/м ≈ 79,5775 А/м. 1 А/м = 4π/1000 Э ≈ 0,01256637 Э. Физический смысл В вакууме (или в отсутствие среды, способной к магнитной поляризации , а также в случаях, когда последняя пренебрежима) напряжённость магнитного поля совпадает с вектором магнитной индукции с точностью до коэффициента, равного 1 в СГС и μ 0 в СИ. В магнетиках (магнитных средах) напряжённость магнитного поля имеет физический смысл «внешнего» поля, то есть совпадает (быть может, в зависимости от принятых единиц измерения, с точностью до постоянного коэффициента, как например в системе СИ , что общего смысла не меняет) с таким вектором магнитной индукции, какой «был бы, если магнетика не было». Например, если поле создаётся катушкой с током, в которую вставлен железный сердечник, то напряжённость магнитного поля H внутри сердечника совпадает (в СГС точно, а в СИ — с точностью до постоянного размерного коэффициента) с вектором B 0 , который был бы создан этой катушкой при отсутствии сердечника и который в принципе может быть рассчитан исходя из геометрии катушки и тока в ней, без всякой дополнительной информации о материале сердечника и его магнитных свойствах. При этом надо иметь в виду, что более фундаментальной характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции B . Именно он определяет силу действия магнитного поля на движущиеся заряженные частицы и токи, а также может быть непосредственно измерен, в то время как напряжённость магнитного поля H можно рассматривать скорее как вспомогательную величину (хотя рассчитать её, по крайней мере, в статическом случае, проще, в чём и состоит её ценность: ведь H создают так называемые свободные токи , которые сравнительно легко непосредственно измерить, а трудно измеримые связанные токи — то есть токи молекулярные и т. п. — учитывать не надо). Правда, в обычно используемое выражение для энергии магнитного поля (в среде) B и H входят почти равноправно, но надо иметь в виду, что в эту энергию включена и энергия, затраченная на поляризацию среды, а не только энергия собственно поля. Энергия магнитного поля как такового выражается только через фундаментальное B . Тем не менее видно, что величина H феноменологически и тут весьма удобна. Виды магнетиков Диамагнетики имеют магнитную проницаемость чуть меньше 1. Отличаются тем, что выталкиваются из области магнитного поля. Парамагнетики имеют магнитную проницаемость чуть более 1. Подавляющее количество материалов являются диа- и пара- магнетиками. Ферромагнетики обладают исключительно большой магнитной проницаемостью, доходящей до миллиона. По мере усиления поля проявляется явление гистерезиса , когда при увеличении напряженности и при последующем уменьшении напряженности значения В(Н) не совпадают друг с другом. В литературе различают несколько определений магнитной проницаемости. Начальная магнитная проницаемость m н - значение магнитной проницаемости при малой напряженности поля. Максимальная магнитная проницаемость m max - максимальное значение магнитной проницаемости, которое достигается обычно в средних магнитных полях. Из других основных терминов, характеризующих магнитные материалы, отметим следующие. Намагниченность насыщения - максимальная намагниченность, которая достигается в сильных полях, когда все магнитные моменты доменов ориентированы вдоль магнитного поля. Петля гистерезиса - зависимость индукции от напряженности магнитного поля при изменении поля по циклу: подъем до определенного значения - уменьшение, переход через нуль, после достижения того же значения с обратным знаком - рост и т.п. Максимальная петля гистерезиса - достигающая максимальной намагниченности насыщения. Остаточная индукция B ост - индукция магнитного поля на обратном ходе петли гистерезиса при нулевой напряженности магнитного поля. Коэрцитивная сила Н с - напряженность поля на обратном ходе петли гистерезиса при которой достигается нулевая индукция. Магнитные моменты атомов Магнитный момент Элементарные частицы обладают внутренним квантовомеханическим свойством известным как спин. Оно аналогично угловому моменту объекта вращающегося вокруг собственного центра масс, хотя строго говоря, эти частицы являются точечными и нельзя говорить об их вращении. Спин измеряют в единицах приведённой планковской постоянной (), тогда электроны, протоны и нейтроны имеют спин равный ½ . В атоме электроны обращаются вокруг ядра и обладают орбитальным угловым моментом помимо спина, в то время как ядро само по себе имеет угловой момент благодаря ядерному спину. Магнитное поле, создаваемое магнитным моментом атома, определяется этими различными формами углового момента, как и в классической физике вращающиеся заряженные объекты создают магнитное поле. Однако, наиболее значительный вклад происходит от спина. Благодаря свойству электрона, как и всех фермионов, подчиняться правилу запрета Паули , по которому два электрона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии, связанные электроны спариваются друг с другом, и один из электронов находится в состоянии со спином вверх, а другой — с противоположной проекцией спина — состояние со спином вниз. Таким образом магнитные моменты электронов сокращаются, уменьшая полный магнитный дипольный момент системы до нуля в некоторых атомах с чётным числом электронов. В ферромагнитных элементах, таких как железо, нечётное число электронов приводит к появлению неспаренного электрона и к ненулевому полному магнитному моменту. Орбитали соседних атомов перекрываются, и наименьшее энергетическое состояние достигается, когда все спины неспаренных электронов принимают одну ориентацию, процесс известный как обменное взаимодействие. Когда магнитные моменты ферромагнитных атомов выравниваются, материал может создавать измеримое макроскопическое магнитное поле. Парамагнитные материалы состоят из атомов, магнитные моменты которых разориентированы в отсутствии магнитного поля, но магнитные моменты отдельных атомов выравниваются при приложении магнитного поля. Ядро атома тоже может обладать ненулевым полным спином. Обычно при термодинамическом равновесии спины ядер ориентированы случайным образом. Однако, для некоторых элементов (таких как ксенон-129) возможно поляризовать значительную часть ядерных спинов для создания состояния с сонаправленными спинами —состояния называемого гиперполяризацией. Это состояние имеет важное прикладное значение в магнитно-резонансной томографии. Магнитное поле обладает энергией. Подобно тому, как в заряженном конденсаторе имеется запас электрической энергии, в катушке, по виткам которой протекает ток, имеется запас магнитной энергии. Если включить электрическую лампу параллельно катушке с большой индуктивностью в электрическую цепь постоянного тока, то при размыкании ключа наблюдается кратковременная вспышка лампы. Ток в цепи возникает под действием ЭДС самоиндукции. Источником энергии, выделяющейся при этом в электрической цепи, является магнитное поле катушки. Энергия W м магнитного поля катушки с индуктивностью L, создаваемого током I, равна W м = LI 2 / 2

Лабораторная работа № 9

Изучение магнитного поля соленоида

1.Цель работы

Изучение распределения магнитного поля конечного соленоида при помощи явления электромагнитной индукции.

2.Краткое теоретическое введение

Соленоид – это цилиндрическая катушка, обмотка которой состоит из большого числа витков проволоки, образующих винтовую линию. Если витки расположены вплотную, то соленоид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых токов, имеющих общую ось. Индукция магнитного поля в любой точке соленоида равно векторной сумме индукций магнитных полей, создаваемых в данной точке всеми витками. Вектор магнитной индукций в точке, лежащей на оси соленоида конечных размеров, направлен вдоль оси, а его значение вычисляется по формуле:

, (1)

где L - длина соленоида, R –радиус его витков,

Х – расстояние от края соленоида до исследуемой точки,

I – сила тока, протекающего по виткам,

n - число витков на единицу длина соленоида,

Относительная магнитная проницаемость среды,

μ0 - магнитная постоянная.

Единицей измерения индукции магнитного поля в системе СИ является «Тесла»: [B] = Тл

Из выражения (1) следует, что индукция магнитного поля максимальна на оси соленоида в точке, соответсвующей его середине:

. (2)

Если длина соленоида намного превышает радиус его витков, то соленоид можно условно считать бесконечно длинным. Магнитное поле внутри бесконечно длинного соленоида является однородным, при этом его индукция равна:

. (3)

Распределение магнитного поля соленоида конечной длины является более сложным по сравнению с простейшим случаем бесконечно длинного соленоида. Для многих других конфигураций магнитного поля, теоретический расчет которых затруднителен, предпочтительней определять магнитную индукцию экспериментально.

Величину можно измерить, использую, например, явление электромагнитной индукции. Если в некоторую точку магнитного поля поместить не большой контур, то при изменениях магнитного потока, пронизывающего этот контур, в последнем возникнет э. д.с., индукции, электромагнитной индукции (закону Фарадея), имеем:

В настоящей работе в качестве контура используется измерительная катушка (ИК), состоящая из большого количества витков N. Возникающая в ней э. д.с. индукции складывается из э. д.с. отдельных витков, т.е.

, (5)

где S –площадь поперечного сечения ИК.

Если в обмотке соленоида протекает переменный ток, то магнитное поле, создаваемое этим током, также является переменным, т. е.

, (6)

где В0 - амплитудное значение магнитной индукции,

– циклическая частота переменного тока.

Из формул (5) и (6) следует, что э. д.с. индукции, наведения ИК, изменяется во времени по закону:

e = e0 sin(wt) (7)

где e0 - амплитудное значение э. д.с., равное

e0 = NSwB0 = kB0 , (8)

Коэффициент называется градуировочной постоянной измерительной установки. Ее можно определить экспериментально.

Вольтметр, используемый для измерения э. д.с. индукции e, показывает эффективное значение переменного напряжения U, связанное с амплитудным значением э. д.с. (e0) соотношением:

https://pandia.ru/text/80/314/images/image011_30.gif" width="92" height="26"> . (10)

Из формул (9) и (10) следует, что отношение эффективного напряжения в любой точке нахождения ИК к его максимальному эффективному значению в центре соленоида равно отношению магнитной индукции в этой точке к максимальной магнитной индукции в центре соленоида:

. (11)

Поэтому распределение индукции магнитного поля соленоида можно изучать, не вычисляя градуировочную постоянную измерительной установки k.

3.Описание экспериментальной установки.

Внутри исследуемого соленоида при помощи стрежня с указателем, скользящим вдоль шкалы, может перемещаться измерительная катушка. Ось катушки параллельна оси соленоида. ИК можно передвигать и в направлении, перпендикулярном оси соленоида. Установка собирается по электрической схеме, приведенной на рис.1. Обмотка соленоида питается переменным током, измеряемым амперметром и изменяемым при помщи реостата. Э. д.с. индукции, возникающая в ИК, измеряется вольтметром. Это эффективное значение э. д.с. индукции, связанное с амплитудным значением индукции магнитного поля соленоида в точке нахождения ИК по формуле (9).

Измерения сводятся к фиксации координаты расположения ИК относительно соленоида и значения э. д.с. индукции, соответствующего этому положения.

4.Рабочее задание

Задание 4.1. Распределение индукции магнитного поля конечного соленоида.

4.1.1. Соберите электрическую цепь по схеме на рис.1

4.1.2. Установите фиксированный ток в обмотке соленоида 1,5А.

4.1.3. Изменяя положение ИК относительно соленоида, измерьте э. д.с. индукции. ИК следует перемещать вдоль оси соленоида 2 см, записывая для каждой координаты показания вольтметра в таблицу 4.1.

4.1.4..gif" width="84" height="45">, пользуясь расчетными формулами (1),(2). Сравните экспериментальную и теоретическую зависимости. Оцените систематическую погрешность проведенных измерений.

Таблица 4.1.

Задание 4.2. Зависимость величины магнитной индукции от силы тока в соленоиде.

4.2.1. Установите ИК в середине соленоида, где магнитное поле максимально.

4.2.2. Для разных значений тока в соленоиде измерьте э. д.с. индукции, наведенной в ИК. Для этих же значений тока рассчитайте значения магнитной индукции в центре конечного соленоида, пользуясь формулой (2). Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 4.2.

4.2.3. Постройте, желательно используя метод наименьших квадратов, график зависимости 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

Ток соленоида, Ic, A

Э. д.с. индукции

Индукция магнитного поля

Предел измерения

Показание прибора

Значение тока

Вmax, 10-3 Тл

Рис 1.Электрическая схема экспериментальной установки

Задание 4.3. Радиальное распределение индукции магнитного поля конечного соленоида.

4.3.1. Установите ИК на краю соленоида.

4.3.2. Установите фиксированный ток в обмотке соленоида 1,5А.

4.3.3. Передвигая Ик в направлении, перпендикулярном оси соленоида, измерьте э. д.с. индукции. ИК следует перемещать на 0,5 см, записывая для каждой координаты показания вольтметра в таблицу 4.3.

4.3.4. Зная значение градуировочной постоянной измерительной установки, вычислите по формуле (9) для каждой координаты значение индукции магнитного поля.

4.3.5. Постройте график зависимости В = f(х).

4.3.6. Установите ИК в центре соленоида.

4.3.7. Выполните для этого положения ИК задания п. п. 4.3.4.-4.3.6.

4.3.8. Перепишите в тетрадь следующие постоянные величины: длину соленоида, его диаметр, число его витков, длину измерительной катушки, ее диаметр, число ее витков.

Таблица 4.3.

В приложении приведена программа для обработки результатов лабораторной работы на ЭВМ. При вводе экспериментальных данных не забудьте перевести их в систему единиц СИ.

5.Контрольные вопросы

5.1. Что такое индукция магнитного поля?

5.2. Какие методы измерения магнитной индукции Вы знаете?

5.3. В чем заключается явление электромагнитной индукции?

5.4. Можно ли в данной работе использовать источник постоянного тока?

5.5. Какова природа возникновения э. д.с. индукции в ИК?

5.6. Выведите формулу индукции магнитного поля бесконечно длинного соленоида.

5.7. Чему равно отношение значений магнитной индукции внутри бесконечно длинного соленоида и на срезе полубесконечного соленоида?

5.8. Каков источник систематической погрешности?

6.Литература

6.1. Калашников.-М.:Наука, 1977.

6.2. Сивухин курс физики.-М.: Наука, 1977.

6.3. Матвеев и магнетизм. -М.: Высшая школа, 1991.

6.4. , Малов общей физики: Электричество и магнетизм.-М.: Просвещение, 1980.