Дана парабола найти координаты ее фокуса. Парабола — свойства и график квадратичной функции

Введем прямоугольную систему координат, где . Пусть осьпроходит через фокусF параболы и перпендикулярен директрисе, а ось проходит посередине между фокусом и директрисой. Обозначим черезрасстояние между фокусом и директрисой. Тогдаа уравнение директрисы.

Число– называетсяфокальным параметромпараболы. Пусть – текущая точка параболы. Пусть– фокальный радиус точки гиперболы.–расстояние от точки до директрисы. Тогда(чертеж 27 .)

Чертеж 27.

По определению параболы . Следовательно,

Возведем уравнение в квадрат, получим:

(15)

где (15) каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси и проходящей через начало координат.

Исследование свойств параболы

1) Вершина параболы:

Уравнению (15) удовлетворяют числа и, следовательно, парабола проходит через начало координат.

2) Симметрия параболы:

Пусть принадлежит параболе, т.е.верное равенство. Точкасимметрична точкеотносительно оси, следовательно, парабола симметрична относительно оси абсцисс.

Эксцентриситет параболы:

Определение 4.2. Эксцентриситетом параболы называется число , равное единице.

Так как по определению параболы .

4) Касательная параболы:

Касательная к параболе в точке касания определяется уравнением

Где (чертеж 28. )

Чертеж 28.

Изображение параболы

Чертеж 29.

С использованием ЭСО- Mathcad:

чертеж 30 .)

Чертеж 30 .

a) Построение без использования ИКТ: Для построения параболы задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Отмечаем на оси ОХ фокус ,так как, проводимтакую, что, и директрису параболы. Выполняем построение окружности в точкеи радиусом равным расстоянию от прямойдо директрисы параболы. Окружность пересекает прямуюв точкахи. Строим параболу так, чтобы она проходила через начало координат и через точкии.(чертеж 31 .)

Чертеж 31.

b)С использованием ЭСО- Mathcad:

Полученное уравнение имеет вид: . Для построения линии второго порядка в программеMathcad приводим уравнение к виду: .(чертеж 32 .)

Чертеж 32.

Чтобы обобщить работу по теории линий второго порядка в элементарной математике и для удобства использования информации о линиях при решении задач, заключим все данные о линиях второго порядка в таблицу № 1.

Таблица №1.

Линии второго порядка в элементарной математике

Название линии 2-го порядка	Окружность	Эллипс	Гипербола	Парабола
Характеристические свойства
Уравнение линии
Эксцентриситет
Уравнение касательной в точке (x 0 ; y 0 )
Фокус
Диаметры линий		Где k- угловой коэффициент	Где k угловой коэффициент	Где k угловой коэффициент

Возможности использования ИКТ в изучении линий второго порядка

Процесс информатизации, охвативший сегодня все стороны жизни современного общества, имеет несколько приоритетных направлений, к которым, безусловно, следует отнести информатизацию образования. Она является первоосновой глобальной рационализации интеллектуальной деятельности человека за счет использования информационно-коммуникационных технологий (ИКТ).

Середина 90-х годов прошлого века и до сегодняшнего дня, характеризуется массовостью и доступностью персональных компьютеров в России, широким использованием телекоммуникаций, что позволяет внедрять разрабатываемые информационные технологии обучения в образовательный процесс, совершенствуя и модернизируя его, улучшая качество знаний, повышая мотивацию к обучению, максимально используя принцип индивидуализации обучения. Информационные технологии обучения являются необходимым инструментом на данном этапе информатизации образования.

Информационные технологии не только облегчают доступ к информации и открывают возможности вариативности учебной деятельности, ее индивидуализации и дифференциации, но и позволяют по-новому организовать взаимодействие всех субъектов обучения, построить образовательную систему, в которой ученик был бы активным и равноправным участником образовательной деятельности.

Формирование новых информационных технологий в рамках предметных уроков стимулируют потребность в создании новых программно-методических комплексов направленных на качественное повышение эффективности урока. Поэтому, для успешного и целенаправленного использования в учебном процессе средств информационных технологий, преподаватели должны знать общее описание принципов функционирования и дидактические возможности программно- прикладных средств, а затем, исходя из своего опыта и рекомендаций, "встраивать" их в учебный процесс.

Изучение математики в настоящее время сопряжено с целым рядом особенностей и трудностей развития школьного образования в нашей стране.

Появился так называемый кризис математического образования. Причины его состоят в следующем:

В изменении приоритетов в обществе и в науке, то есть в настоящее время идет рост приоритета гуманитарных наук;

В сокращении количества уроков математики в школе;

В оторванности содержания математического образования от жизни;

В малом воздействии на чувства и эмоции учащихся.

Сегодня остается открытым вопрос: «Как же наиболее эффективно использовать потенциальные возможности современных информационных и коммуникационных технологий при обучении школьников, в том числе, при обучении математике?».

Компьютер – отличный помощник в изучении такой темы, как “Квадратичная функция”, потому что, используя специальные программы можно строить графики различных функций, исследовать функцию, легко определить координаты точек пересечения, вычислить площади замкнутых фигур и т.д. Например, на уроке алгебры в 9-м классе, посвящённом преобразованию графика (растяжения, сжатия, переносы координатных осей) можно увидеть лишь застывший результат построения, а на экране монитора прослеживается вся динамика последовательных действий учителя и ученика.

Компьютер, как ни одно техническое средство, точно, наглядно и увлекательно открывает перед учеником идеальные математические модели, т.е. то, к чему должен стремиться ребенок в своих практических действиях.

Сколько трудностей приходится испытывать учителю математики для того, чтобы убедить учеников в том, что касательная к графику квадратичной функции в точке касания практически сливается с графиком функции. На компьютере этот факт продемонстрировать очень просто- достаточно сузить интервал по оси Ох и обнаружить, что в очень маленькой окрестности точки касания график функции и касательная совпадают. Все эти действия происходят на глазах у учеников. Этот пример дает толчок к активным размышлениям на уроке. Использование компьютера возможно как в ходе объяснения нового материала на уроке, так и на этапе контроля. При помощи этих программ, например «My Test», ученик самостоятельно может проверить свой уровень знаний по теории, выполнить теоретико-практические задания. Программы удобны своей универсальностью. Они могут быть использованы и для самоконтроля, и для контроля со стороны учителя.

Разумная интеграция математики и компьютерных технологий позволит богаче и глубже взглянуть на процесс решения задачи, ход осмысления математических закономерностей. Кроме того, компьютер поможет сформировать графическую, математическую и мыслительную культуру учеников, а также с помощью компьютера можно подготовить дидактические материалы: карточки, листы опроса, тесты и др. При этом давать возможность ребятам самостоятельно разрабатывать тесты по теме, в ходе чего развивается интерес и творческий подход.

Таким образом, есть необходимость в применении по возможности компьютера на уроках математики более широко, чем есть. Использование информационных технологий будет способствовать повышению качества знаний, расширит горизонты изучения квадратичной функции, а значит, поможет найти новые перспективы для поддержания интереса учащихся к предмету и к теме, а значит и к лучшему, более внимательному отношению к нему. Сегодня современные информационные технологии становятся важнейшим инструментом модернизации школы в целом – от управления до воспитания и обеспечения доступности образования.

III уровень

3.1. Гипербола касается прямых 5x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y – – 48 = 0. Запишите уравнение гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.

3.2. Составьте уравнения касательных к гиперболе

1) проходящих через точку A (4, 1), B (5, 2) и C (5, 6);

2) параллельных прямой 10x – 3y + 9 = 0;

3) перпендикулярных прямой 10x – 3y + 9 = 0.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

Параметры параболы:

Точка F (p /2, 0) называется фокусом параболы, величина p – параметром , точка О (0, 0) – вершиной . При этом прямая OF , относительно которой парабола симметрична, задает ось этой кривой.

Величина где M (x , y ) – произвольная точка параболы, называется фокальным радиусом , прямая D : x = –p /2 – директрисой (она не пересекает внутреннюю область параболы). Величина называется эксцентриситетом параболы.

Основное характеристическое свойство параболы : все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса (рис. 24).

Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат (рис. 25).:

Для параметрического задания параболы в качестве параметра t может быть взята величина ординаты точки параболы:

где t – произвольное действительное число.

Пример 1. Определить параметры и форму параболы по ее каноническому уравнению:

Решение. 1. Уравнение y 2 = –8x определяет параболу с вершиной в точке О Оx . Ее ветви направлены влево. Сравнивая данное уравнение с уравнением y 2 = –2px , находим: 2p = 8, p = 4, p /2 = 2. Следовательно, фокус находится в точке F (–2; 0), уравнение директрисы D : x = 2 (рис. 26).

2. Уравнение x 2 = –4y задает параболу с вершиной в точке O (0; 0), симметричную относительно оси Oy . Ее ветви направлены вниз. Сравнивая данное уравнение с уравнением x 2 = –2py , находим: 2p = 4, p = 2, p /2 = 1. Следовательно, фокус находится в точке F (0; –1), уравнение директрисы D : y = 1 (рис. 27).

Пример 2. Определить параметры и вид кривой x 2 + 8x – 16y – 32 = 0. Сделать чертеж.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:

x 2 + 8x – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

В результате получим

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (–4; –3), параметром p = 8, ветвями, направленными вверх (), осью x = –4. Фокус находится в точке F (–4; –3 + p /2), т. е. F (–4; 1) Директриса D задается уравнением y = –3 – p /2 или y = –7 (рис. 28).

Пример 4. Составить уравнение параболы с вершиной в точке V (3; –2) и фокусом в точке F (1; –2).

Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Ox (одинаковые ординаты), ветви параболы направлены влево (абсцисса фокуса меньше абсциссы вершины), расстояние от фокуса до вершины равно p /2 = 3 – 1 = 2, p = 4. Значит, искомое уравнение

(y + 2) 2 = –2 · 4(x – 3) или (y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Определите параметры параболы и построить ее:

1) y 2 = 2x ; 2) y 2 = –3x ;

3) x 2 = 6y ; 4) x 2 = –y .

1.2. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:

1) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ox и p = 4;

2) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку M (4; –2).

3) директриса задана уравнением 3y + 4 = 0.

1.3. Составьте уравнение кривой, все точки которой равноудалены от точки (2; 0) и прямой x = –2.

II уровень

2.1. Определить тип и параметры кривой.

Рассмотрим на плоскости прямую и точку, не лежащую на этой прямой. И эллипс , и гипербола могут быть определены единым образом как геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до данной точки к расстоянию до данной прямой есть постоянная вели-

чина ε. При 0 1 - гипербола. Параметр ε является эксцентриситетом как эллипса, так и гиперболы . Из возможных положительных значений параметра ε одно, а именно ε = 1, оказывается незадействованным. Этому значению соответствует геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки и от данной прямой.

Определение 8.1. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки и от фиксированной прямой, называют параболой.

Фиксированную точку называют фокусом параболы , а прямую - директрисой параболы . При этом полагают, что эксцентриситет параболы равен единице.

Из геометрических соображений вытекает, что парабола симметрична относительно прямой, перпендикулярной директрисе и проходящей через фокус параболы. Эту прямую называют осью симметрии параболы или просто осью параболы . Парабола пересекается со своей осью симметрии в единственной точке. Эту точку называют вершиной параболы . Она расположена в середине отрезка, соединяющего фокус параболы с точкой пересечения ее оси с директрисой (рис. 8.3).

Уравнение параболы. Для вывода уравнения параболы выберем на плоскости начало координат в вершине параболы, в качестве оси абсцисс - ось параболы, положительное направление на которой задается положением фокуса (см. рис. 8.3). Эту систему координат называют канонической для рассматриваемой параболы, а соответствующие переменные - каноническими .

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через p. Его называют фокальным параметром параболы .

Тогда фокус имеет координаты F(p/2; 0), а директриса d описывается уравнением x = - p/2. Геометрическое место точек M(x; y), равноудаленных от точки F и от прямой d, задается уравнением

Возведем уравнение (8.2) в квадрат и приведем подобные. Получим уравнение

которое называют каноническим уравнением параболы .

Отметим, что возведение в квадрат в данном случае - эквивалентное преобразование урав-нения (8.2), так как обе части уравнения неотрицательны, как и выражение под радикалом.

Вид параболы. Если параболу у 2 = x, вид которой считаем известным, сжать с коэффициентом 1/(2р) вдоль оси абсцисс, то получится парабола общего вида, которая описывается уравнением (8.3).

Пример 8.2. Найдем координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, если она проходит через точку, канонические координаты которой (25; 10).

В канонических координатах уравнение параболы имеет вид у 2 = 2px. Поскольку точка (25; 10) находится на параболе, то 100 = 50p и поэтому p = 2. Следовательно, у 2 = 4x является каноническим уравнением параболы, x = - 1 - уравнением ее директрисы, а фокус находится в точке (1; 0).

Оптическое свойство параболы. Парабола имеет следующее оптическое свойство . Если в фокус параболы поместить источник света, то все световые лучи после отражения от параболы будут параллельны оси параболы (рис. 8.4). Оптическое свойство означает, что в любой точке M параболы нормальный вектор касательной составляет с фокальным радиусом MF и осью абсцисс одинаковые углы.

Задача № 1. Определить координаты фокусов и составить уравнение директрисы параболы

Сравнивая это уравнение с уравнением
, находим, что 2p=4, откуда . Таким образом, точка
- фокусы параболы, а прямая
, т. е. x=-1 или x+1=0 – её директриса.

Ответ: (1;0)

Задача № 2. Фокусы параболы с вершиной в начале координат лежит в точке F(0;-4). Написать уравнение этой параболы.

Задача № 3. Директрисой параболы с вершиной в начале координат служит прямая 2x+5=0

Написать уравнение и найти координаты фокуса параболы.

Р
ешение: Так как директрисой параболы с вершиной в начале координат служит прямая 2x+5=0 или
, то ее фокус имеет координаты

, поэтому искомая кривая симметрична относительно оси Оx F()
и ветви ее направлены вправо (абсцисса фокуса положительна). Следовательно, уравнение параболы имеет вид

Так как
то
и уравнение параболы будет:
, а координаты ее фокуса F(2,5;0)

Ответ:
; F(2,5;0)

Задача №4. Написать уравнение параболы, симметричной относительно оси Оy, с центром в начале системы координат, если она проходит через точку В(1;-2).

Так как парабола симметрична относительно оси Оy и имеет вершину в начале системы координат, то ее уравнение имеет вид
. Поскольку точка В(1;-2) лежит на параболе, то ее координаты удовлетворяют параболы, т.е.
,

Откуда
, и, следовательно,
- уравнение параболы.

Ответ:

Задача № 5. Найти высоту арки моста длиной 24м, если арка имеет вид параболы, уравнение которой

Построим эскиз параболы
в декартовой прямоугольной системе координат. Обозначим через h высоту моста, а через =24 - длину арки мосту. Тогда, А(12;-h)П:
.

Т
ак как точка А принадлежит параболе
, то ее координаты удовлетворяют уравнению параболы. Это дает возможность вместо текущих координат (x;y) подставить координаты данной точки в уравнение параболы. Тогда имеем

Итак, высота арки моста 3 м.

Задача № 6. Струя воды, направленная под углом к плоскости горизонта поднимается на высоту 2 м и падает в 12 м от наконечника шланга. Найти параболическую траекторию струи.

Решение: Свяжем параболическую траекторию струи с декартовой прямоугольной системой координат так, чтобы параболическая траектория была симметрична оси Оy, ветви были бы направлены вниз, а ее вершина лежала бы в начале координат.

Тогда уравнение такой параболической траектории имеет вид
, точка А(6;-2)П:
, следовательно, ее координаты удовлетво-ряют уравнению параболы. Подстановка координат точки А вместо текущих координатx и y параболы
, дает равенство

. Следовательно,
- уравнение параболической траектории струи.

Ответ:

Решить самостоятельно:

Задача № 7. Сечение рефлектора плоскостью проходящей через ось рефлектора, есть парабола. Написать ее уравнение, если ширина рефлектора 30 см, а глубина 20 см, (ось рефлектора совпадает с осью Ox)

Ответ:

Задача № 8. Из отверстия, находящегося на поверхности земли вытекает вода струей, представляющей ветвь параболы
. На каком расстоянии от края бака падает струя на землю, если высота отверстия

Ответ: 3 м.

Задача № 9. Осевое сечение параболического зеркала является параболой

Определить диаметр зеркала, если его «глубина» равна 18,75 см.

Ответ: 30 см.

Задача № 10. Камень брошенный под острым углом к плоскости горизонта, достиг наибольшей высоты 16 м., Описав параболическую траекторию, камень упал в 48 м., от точки бросания. Найти траекторию камня.

Ответ:
.

Задача № 11 Найти параболу с вершиной в начале координат, если ее фокус лежит в точке а) F(3;0); б) F(-2;0); в) F(0;4); г) F(0;-)

Ответ: а)
; б)
; в)
; г)

Задача № 12 Найти параболы с вершиной в начале координат, если даны директрисы: а)
; б)x=-5 ; в) y=3 ; г) y=-2 ;

Ответ: а)
; б)
; в)
; г)
.

Задача № 13. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для каждой из парабол.

а)
; б)
; в)
; г)
. Построить эти параболы.

Ответ: а) F(2;0); x+2=0 ; б) F(-3;0); x-3=0 ; в) F(0;); 2y+5=0

г) F(0;-4); x-4=0

Задача № 14. Проверить, лежат ли точки А(2;-2) и В(1;2) на параболе

Ответ: А лежат, В не лежат.

Задача № 15. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оx и проходящей через точку

Ответ:

Задача № 16. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если:

А) парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 4;

Б) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 6;

В) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 3;

г) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 5.

Ответ а)
; б)
; в)
; г)
.