Векторная диаграмма. Сложение колебаний
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство Образования и Науки
Республики Казахстан
ВКГТУ им. Д. Серикбаева
Курсовая работа
по дисциплине: Физика
на тему: «Гармонические колебания методом вращающегося вектора амплитуды , или методом векторных диаграмм »
Выполнил: студент группы14- ГРК-1
Сері??анов?.Е
Проверил(а): Нуркенова Б.Д
Усть- Каменогорск - 2014 г.
- Колебательный контур
- Гармонические колебания
- Вынужденные колебания
- Резонанс
- Автоколебания
- Определение колебаний.
- Графический метод сложения колебаний. Векторная диаграмма
- Методом вращающегося вектора амплитуды.
- Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- Сложение колебаниё одного направления и одинаковой частоты.
- Различные формы траектории суммы колебаний. Фигуры Лиссажу
- Список литературы
Колебательный контур
Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например, качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и другие. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы. Например, единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся английским физиком Д. У. Релеем (1842-1919), а А.Г. Столетовым, русским инженером-экспериментатором П.Н. Лебедевым (1866-1912). Большой вклад в развитие теории колебаний внесли: Л.И. Мандельштам (1879-1944) и его ученики.
Колебания называются свободными (или собственными ), если они совершаются за счет первоначально совершенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменятся со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам:
Колебания встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому;
Различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний.
Гармонические колебания
колебание резонанс вектор амплитуда
Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа
s =A cos (0 t +), (1)
где
a) А - максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания ,
b) 0 - круговая (циклическая) частота ,
- начальная фаза колебания в момент времени t=0,
c) (0 t +) - фаза колебания в момент времени t.
Фаза колебания определяет значения колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от 1 до -1, то s может принимать значения от +А до -А.
Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания , за который фаза колебания получает приращение равное 2, т.е.
0(t+T)+ =(0t+)+2,
откуда
T=2/0 (2)
Величина, обратная периоду колебаний,
=1/T (3)
т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний . Сравнивая (2) и (3), получим
0=2 .
Единица частоты - герц (Гц): 1 Гц - частота периодического процесса, при которой за 1 секунду совершается 1 цикл процесса.
Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины s:
(4)
(5)
т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин (5) и (4) соответственно равны и . Фаза величины (4) отличается от фазы величины (1) на /2, а фаза величины (5) отличается от фазы величины (1) на . Следовательно, в моменты времени, когда s =0, приобретает наибольшие значения; когда же s достигает максимального отрицательного значения, то приобретает наибольшее положительное значение .
Из выражения (5) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний
(6)
где s =A cos (0 t +). Решением этого уравнения является выражение (1).
Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды , или методом векторных диаграмм .
Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси x под углом,равнымначальной фазе колебания, откладывается вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания.
Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью 0, равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x и принимать значения от -А до +А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s =A cos (0 t +). Таким образом, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью 0 вокруг этой точки.
Вынужденные колебания
Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными.
Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.
Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой щ, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте щ0.
Если свободные колебания происходят на частоте щ0, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте щ внешней силы.
После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Дt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания ф свободных колебаний в колебательной системе.
В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса - вынужденные колебания на частоте щ и свободные колебания на собственной частоте щ0. Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте щ внешней вынуждающей силы.
Рассмотрим в качестве примера вынужденные колебания тела на пружине (рис. 1). Внешняя сила приложена к свободному концу пружины. Она заставляет свободный (левый на рис. 1) конец пружины перемещаться по закону
y = ym cos щt.
где ym - амплитуда колебаний, щ - круговая частота.
Такой закон перемещения можно обеспечить с помощью шатунного механизма, не показанного на рис.1.
Рисунок 1.Вынужденные колебания груза на пружине. Свободный конец пружины перемещается по закону y = ym cos щt. l - длина недеформированной пружины, k - жесткость пружины.
Если левый конец пружины смещен на расстояние y, а правый - на расстояние x от их первоначального положения, когда пружина была недеформирована, то удлинение пружины Дl равно:
Дl = x - y = x - ym cos щt.
Второй закон Ньютона для тела массой m:
ma = -k(x - y) = -kx + kym cos щt.
В этом уравнении сила, действующая на тело, представлена в виде двух слагаемых. Первое слагаемое в правой части - это упругая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия (x = 0). Второе слагаемое - внешнее периодическое воздействие на тело. Это слагаемое и называют вынуждающей силой.
Амплитуда вынужденных колебаний xm и начальная фаза и зависят от соотношения частот щ0 и щ и от амплитуды ym внешней силы.
На очень низких частотах, когда щ << щ0, движение тела массой m, прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом x(t) = y(t), и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при щ << щ0 стремится к нулю.
Резонанс
Если частота щ внешней силы приближается к собственной частоте щ0, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом. Зависимость амплитуды xm вынужденных колебаний от частоты щ вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис 2).
При резонансе амплитуда xm колебания груза может во много раз превосходить амплитуду ym колебаний свободного (левого) конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.
У колебательных систем с не очень высокой добротностью (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис 2.
Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.
Рисунок 2.
Резонансные кривые при различных уровнях затухания: 1 - колебательная система без трения; при резонансе амплитуда xm вынужденных колебаний неограниченно возрастает; 2, 3, 4 - реальные резонансные кривые для колебательных систем с различной добротностью: Q2 > Q3 > Q4. На низких частотах (щ << щ0) xm ? ym. На высоких частотах (щ >> щ0) xm > 0.
Вынужденные колебания - это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными, а процесс незатухающих колебаний в таких системах - автоколебаниями. В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента - колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).
Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис 3 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.
Рисунок 3. Функциональная схема автоколебательной системы
Автоколебания
Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис 4). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник - балансиром - маховичком, скрепленным со спиральной пружиной. Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир. Источником энергии - поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод. Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.
Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д.
Рисунок 4. Часовой механизм с маятником.
Определение колебаний
Колебаниями называются движения или процессы, которые полностью или почти полностью повторяются через равные промежутки времени. Колебания, описываемые уравнением
,
где x - смещение колеблющийся величины от положения равновесия; w - циклическая частота, определяющая число колебаний, совершаемые за время 2 р секунд;t - время называют гармоническими.
Графический метод сложения колебаний. Векторная диаграмма
Метод вращающегося вектора амплитуды заключается в представлении гармонического колебания с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний называют методом вращающего вектора амплитуды.
Гармонические колебания одинакового направления и частоты удобно складывать, изобразив колебания в виде векторов на плоскости - графически.
1). Выберем некоторую направленную прямую - ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x.
2). Из взятой на оси некоторой точки О отложим направленный отрезок - вектор длины A, образующий с осью угол некоторый б.
3). Вращая вектор А вокруг точки О с угловой скоростью щ 0, получим, что проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени: проекция конца вектора будет перемещаться по оси x, принимая значения от - А до + A, а координата этой проекции будет изменяться со временем по закону
Схему, полученную таким методом представления колебаний, называют векторной диаграммой.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
Рассмотрим две взаимно перпендикулярные векторные величины x и y, изменяющиеся со временем с одинаковой частотой щ по гармоническому закону:
(1)
Где e x и e у -- орты координатных осей x и y, А и B -- амплитуды колебаний. Величинами x и у может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия.
В случае колеблющейся частицы величины x и y можно представить в виде:
, (2)
Они определяют координаты частицы на плоскости xy.
Выражения (2) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой будет двигаться частица. Вид траектории зависит от разности фаз обоих колебаний.
Исключив из уравнений (2) параметр t, получим уравнение траектории в обычном виде. Из первого уравнения: (3). Соответственно
(4)
По формуле для косинуса суммы:
, тогда
Преобразуем это уравнение
(5)
Получили уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х и у. Ориентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз б.
Сложение колебание одного направления и одинаковой частоты.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний х 1 и x 2 одного направления и одинаковой частоты:
, (1)
Оба колебания представим с помощью векторов A 1 и А 2. Используя правила сложения векторов можно найти результирующий вектор А, представляющий собой сумму двух векторов A 1 и А 2.
Вектор A представляет собой результирующее колебание, потому что из рисунка видно, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций складываемых векторов:
Вектор A вращается с той же угловой скоростью щ 0, как и векторы А 1 и А 2, так что сумма x 1 и х 2 является гармоническим колебанием с частотой (щ 0, амплитудой A и начальной фазой б. Используя теорему косинусов получаем, что
(2)
(3)
Замена сложения функций сложением векторов, которая возможна при Представление гармонических колебаний с помощью векторов, значительно упрощает вычисления.
Различные формы траектории суммы колебаний. Фигуры Лиссажу.
Разность фаз б равна нулю.
При разности фаз, равной нулю, уравнение (5) упрощается следующим образом:
Отсюда:
- уравнение прямой.
Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой щ и амплитудой, равной (рис. 1 а).
Разность фаз б равна ±р.
При разности фаз б равной ±р уравнение (5) имеет вид
- результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой
(рис. 1 б)
Рис.1
Разность фаз равна
Случаи и отличаются направлением движения по эллипсу или окружности.
При разности фаз, равной.уравнение (5) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям:
Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. Если амплитуды А и В равны, эллипс превращается в окружность.
Равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью щ может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:
,
(знак плюс в выражении для у соответствует движению против часовой стрелки, знак минус -- движению по часовой стрелке).
При разных частотах взаимно перпендикулярных колебаний, траектории результирующего движения будут имеют вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.
Фигура Лиссажу для отношения частот 1:2 и разности фаз р/2
Фигура Лиссажу для отношения частот 3:4 и разности фаз р /2
Список литературы
Геворкян Р.Г. Курс физики. -М, 1979, -656 с.
И. В Савельев. Курс общей физики. -М. 1990
Дж.Орир. Физика том 1, - М. 1981
Трофимова Т.И. Курс физики, -М. 2006, -560 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Графическое изображение колебаний в виде векторов и в комплексной форме. Построение результирующего вектора по правилам сложения векторов. Биения и периодический закон изменения амплитуды колебаний. Уравнение и построение простейших фигур Лиссажу.
презентация , добавлен 18.04.2013
Метод векторной диаграммы. Представление гармонических колебаний в комплексной форме; сложение гармонических колебаний; биения. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний: уравнение траектории результирующего колебания; уравнение эллипса; фигуры Лиссажу.
презентация , добавлен 24.09.2013
Сложение взаимно перпендикулярных механических гармонических колебаний. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение; автоколебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Амплитуда и фаза колебаний; резонанс.
презентация , добавлен 28.06.2013
Исследование понятия колебательных процессов. Классификация колебаний по физической природе и по характеру взаимодействия с окружающей средой. Определение амплитуды и начальной фазы результирующего колебания. Сложение одинаково направленных колебаний.
контрольная работа , добавлен 24.03.2013
Понятие и физическая характеристика значений колебаний, определение их периодического значения. Параметры частоты, фазы и амплитуды свободных и вынужденных колебаний. Гармонический осциллятор и состав дифференциального уравнения гармонических колебаний.
презентация , добавлен 29.09.2013
Определения и классификация колебаний. Способы описания гармонических колебаний. Кинематические и динамические характеристики. Определение параметров гармонических колебаний по начальным условиям сопротивления. Энергия и сложение гармонических колебаний.
презентация , добавлен 09.02.2017
Векторная диаграмма одночастотных колебаний, происходящих вдоль одной прямой. Нахождение графически амплитуды колебаний, которые возникают при сложении двух колебаний одного направления. Сложение двух гармонических колебаний одного направления.
курсовая работа , добавлен 15.11.2012
Резонанс как явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, его физические основы. Вынужденные колебания. Разрушительная роль резонанса и его положительные значения. Частотометр: понятие, общий вид, функции. Резонанс и состояние человека.
презентация , добавлен 27.10.2013
Единый подход к изучению колебаний различной физической природы. Характеристика гармонических колебаний. Понятие периода колебаний, за который фаза колебания получает приращение. Механические гармонические колебания. Физический и математический маятники.
презентация , добавлен 28.06.2013
Колебания как один из самых распространенных процессов в природе и технике. График затухающих колебаний. Математический и пружинный маятники. Резонанс как резкое возрастание амплитуды колебаний. Вывод формулы для расчета периода пружинного маятника.
Гармонические колебания
Т.е. фактически график синуса получается из вращения вектора, который описывается формулой:
F(x) = A sin (ωt + φ),
Где A - длина вектора (амплитуда колебаний), φ - начальный угол (фаза) вектора в нулевой момент времени, ω - угловая скорость вращения, которая равна:
ω=2 πf, где f - частота в Герцах.
Как мы видим, что зная частоту сигнала, амплитуду и угол, мы можем построить гармонический сигнал.
Магия начинается тогда, когда оказывается, что представление абсолютно любого сигнала можно представить в виде суммы (зачастую бесконечной) различных синусоид. Иначе говоря, в виде ряда Фурье.
Я приведу пример из английской википедии . Для примера возьмём пилообразный сигнал.
Пилообразный сигнал
Его сумма будет представлена следующей формулой:
Если мы будем по очерёдно суммировать, брать сначала n=1, затем n=2 и т.д., то увидим, как у нас гармонический синусоидальный сигнал постепенно превращается в пилу:
Наверное красивее всего это иллюстрирует одна программа, найденная мной на просторах сети. Выше уже говорилось, что график синуса является проекцией вращающегося вектора, а как же быть в случае более сложных сигналов? Это, как ни странно, проекция множества вращающихся векторов, а точнее их суммы, и выглядит это всё так:
Вектора рисуют пилу.
Вообще рекомендую сходить самим по ссылке и попробовать самим поиграться с параметрами, и посмотреть как меняется сигнал. ИМХО более наглядной игрушки для понимания я ещё не встречал.
Ещё следует заметить, что есть обратная процедура, позволяющая получить из данного сигнала частоту, амплитуду и начальную фазу (угол), которое называется Преобразование Фурье.
Разложение в ряд Фурье некоторых известных периодических функций (отсюда)
Я детально на нём останавливаться не буду, но покажу, как это можно применить по жизни. В списке литературы порекомендую то, где можно почитать подробнее о матчасти.
Переходим к практическим упражнениям!
Мне кажется, что каждый студент задаётся вопросом, сидя на лекции, например по матану: зачем мне весь этот бред? И как правило, не найдя ответа в обозримом будущем, к сожалению, теряет интерес к предмету. Поэтому я сразу покажу практическое применение данных знаний, а вы эти знания уже будете осваивать сами:).
Всё дальнейшее я буду реализовывать на сях. Делал всё, конечно, под Linux, но никакой специфики не использовал, по идее программа будет компилироваться и работать под другими платформами.
Для начала напишем программу для формирования звукового файла. Был взят wav-файл, как самый простой. Прочитать про его структуру можно .
Если кратко, то структура wav-файла описывается так: заголовок, который описывает формат файла, и далее идёт (в нашем случае) массив 16-ти битных данных (остроконечник) длиной: частота_дискретизации*t секунд или 44100*t штук.
Для формирования звукового файла был взят пример . Я его немного модифицировал, исправил ошибки, и окончательная версия с моими правками теперь лежит на гитхабе тут
Сгенерируем двухсекундный звуковой файл с чистым синусом частотой 100 Гц. Для этого модифицируем программу таким образом:
#define S_RATE (44100) //частота дискретизации
#define BUF_SIZE (S_RATE*10) /* 2 second buffer */
….
int main(int argc, char * argv)
{
...
float amplitude = 32000; //берём максимальную возможную амплитуду
float freq_Hz = 100; //частота сигнала
/* fill buffer with a sine wave */
for (i=0; i Обращаю внимание, что формула чистого синуса соответствует той, о которой мы говорили выше. Амплитуда 32000 (можно было взять 32767) соответствует значению, которое может принимать 16-ти битное число (от минус 32767 до плюс 32767). В результате получаем следующий файл (можно его даже послушать любой звуковоспроизводящей программой). Откроем данный файл audacity и увидим, что график сигнала в действительности соответствует чистому синусу: Поглядим спектр этого синуса (Анализ->Построить график спектра) Виден чистый пик на 100 Гц (логарифмический масштаб). Что такое спектр? Это амплитудно-частотная характеристика. Существует ещё фазочастотная характеристика. Если помните, выше я говорил, что для построения сигнала надо знать его частоту, амплитуду и фазу? Так вот, можно из сигнала получить эти параметры. В данном случае у нас график соответствий частот амплитуде, при чём амплитуда у нас не в реальных единицах, а в Децибелах. Я понимаю, что чтобы объяснить, как работает программа, надо объяснить, что такое быстрое преобразование Фурье, а это как минимум ещё на одну некислую статью. Для начала алокируем массивы: C = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // массив поворотных множителей
in = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //входный массив
out = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //выходной массив
Скажу лишь, что в программе мы читаем данные в массив длиной size_array (которое берём из заголовка wav-файла). While(fread(&value,sizeof(value),1,wav)) {
in[j]=(float)value;
j+=2;
if (j > 2*size_array) break;
}
Массив для быстрого преобразования Фурье должен представлять собой последовательность {re, im, re, im,… re, im}, где fft_size=1<< p - число точек БПФ. Объясняю нормальным языком: Int p2=(int)(log2(header.bytes_in_data/header.bytes_by_capture));
Логарифм от количество байт в данных, делённых на количество байт в одной точке. После этого считаем поворотные множители: Fft_make(p2,c);// функция расчёта поворотных множителей для БПФ (первый параметр степень двойки, второй алокированный массив поворотных множителей).
И скармливаем наш считанный массив в преобразователь Фурье: Fft_calc(p2, c, in, out, 1); //(единица означает, что мы получаем нормализованный массив).
На выходе мы получаем комплексные числа вида {re, im, re, im,… re, im}. Для тех, кто не знает, что такое комплексное число, поясню. Я не зря начал эту статью с кучи вращающихся векторов и кучи гифок. Так вот, вектор на комплесной плоскости определяется действительной координатой a1 и мнимой координатой a2. Или длиной (это у нас амплитуда Am) и углом Пси (фаза). Обратите внимание, что size_array=2^p2. Первая точка массива соответствует частоте 0 Гц (постоянная), последняя точка соответствует частоте дискретизации, а именно 44100 Гц. В результате мы должны рассчитать частоту, соответствующей каждой точке, которые будут отличаться на частоту дельта: Double delta=((float)header.frequency)/(float)size_array; //частота дискретизации на размер массива.
Алокируем массив амплитуд: Double * ampl;
ampl = calloc(size_array*2, sizeof(double));
И смотрим на картинку: амплитуда - это длина вектора. А у нас есть его проекции на действительную и мнимую ось. В результате у нас будет прямоугольный треугольник, и тут мы вспоминаем теорему Пифагора, и считаем длину каждого вектора, и сразу пишем её в текстовый файл: For(i=0;i<(size_array);i+=2) {
fprintf(logfile,"%.6f %f\n",cur_freq, (sqrt(out[i]*out[i]+out*out)));
cur_freq+=delta;
}
…
11.439514 10.943008
11.607742 56.649738
11.775970 15.652428
11.944199 21.872342
12.112427 30.635371
12.280655 30.329171
12.448883 11.932371
12.617111 20.777617
...
Теперь скармливаем получившейся программе тот звуковой файл синуса ./fft_an ../generate_wav/sin\ 100\ Hz.wav
format: 16 bits, PCM uncompressed, channel 1, freq 44100, 88200 bytes per sec, 2 bytes by capture, 2 bits per sample, 882000 bytes in data
chunk=441000
log2=18
size array=262144
wav format
Max Freq = 99.928 , amp =7216.136
И получаем текстовый файл АЧХ. Строим его график с помощью гнуплота Скрипт для построения: #! /usr/bin/gnuplot -persist
set terminal postscript eps enhanced color solid
set output "result.ps"
#set terminal png size 800, 600
#set output "result.png"
set grid xtics ytics
set log xy
set xlabel "Freq, Hz"
set ylabel "Amp, dB"
set xrange
#set yrange
plot "test.txt" using 1:2 title "AFC" with lines linestyle 1
Обратите внимание на ограничение в скрипте на количество точек по X: set xrange . Частота дискретизации у нас 44100, а если вспомнить теорему Котельникова, то частота сигнала не может быть выше половины частоты дискретизации, следовательно сигнал выше 22050 Гц нас не интересует. Почему так, советую прочитать в специальной литературе. Обратите внимание на резкий пик на частоте 100 Гц. Не забывайте, что по осям - логарифмический масштаб! Шерсть справа, как я думаю, ошибки преобразования Фурье (тут на память приходят окна). А давайте! Давайте поглядим спектры других сигналов! Double d_random(double min, double max)
{
return min + (max - min) / RAND_MAX * rand();
}
Она будет генерировать случайное число в заданном диапазоне. В результате main будет выглядеть так: Int main(int argc, char * argv)
{
int i;
float amplitude = 32000;
srand((unsigned int)time(0)); //инициализируем генератор случайных чисел
for (i=0; i Сгенерируем файл , (рекомендую к прослушиванию). Поглядим его в audacity. Поглядим спектр в программе audacity. И поглядим спектр с помощью нашей программы: Хочу обратить внимание на очень интересный факт и особенность шума - он содержит в себе спектры всех гармоник. Как видно из графика, спектр вполне себе ровный. Как правило, белый шум используется для частотного анализа пропускной способности, например, аудиоаппаратуры. Существуют и другие виды шумов: розовый, синий и другие
. Домашнее задание - узнать, чем они отличаются. А теперь давайте посмотрим другой интереснейший сигнал - меандр. Я там выше приводил табличку разложений различных сигналов в ряды Фурье, вы поглядите как раскладывается меандр, выпишите на бумажку, и мы продолжим. Для генерации меандра с частотой 25 Гц мы модифицируем в очередной раз наш генератор wav-файла: Int main(int argc, char * argv)
{
int i;
short int meandr_value=32767;
/* fill buffer with a sine wave */
for (i=0; i В результате получим звуковой файл (опять же, советую послушать), который сразу надо посмотреть в audacity Не будем томиться и поглядим его спектр: Пока не очень что-то понятно, что такое… А давайте поглядим несколько первых гармоник: Совсем другое дело! Ну-ка поглядим табличку. Смотрите-ка, у нас есть только 1, 3, 5 и т.д., т.е. нечётные гармоники. Мы так и видим, что у нас первая гармоника 25 Гц, следующая (третья) 75 Гц, затем 125 Гц и т.д., при этом у нас амплитуда постепенно уменьшается. Теория сошлась с практикой! Эта картинка прям как картинка из википедии , где для примера меандра берутся не все частоты, а только первые несколько. Меандр так же активно используется в радиотехнике (надо сказать, что - это основа всей цифровой техники), и стоит понимать что при длинных цепях его может отфильтровать так, что, родная мама не узнает. Его так же используют для проверки АЧХ различных приборов. Ещё интересный факт, что глушилки телевизоров работали именно по принципу высших гармоник, когда сама микросхема генерировала меандр десятки МГц, а его высшие гармоники могли иметь частоты сотни МГц, как раз на частоте работы телевизора, и высшие гармоники успешно глушили сигнал вещания телевизора. Вообще тема подобных экспериментов бесконечная, и вы можете теперь сами её продолжить. Для тех, кто нифига не понял, что мы тут делаем, или наоборот, для тех, кто понял, но хочет разобраться ещё лучше, а так же для студентам, изучающим ЦОС, крайне рекомендую эту книгу. Это ЦОС для чайников, которым является автор данного поста. Там доступным даже для ребёнка языком рассказываются сложнейшие понятия. В заключении хочу сказать, что математика - царица наук, но без реального применения многие люди теряют к ней интерес. Надеюсь, данный пост подстегнёт вас к изучению такого замечательного предмета, как обработка сигналов, и вообще аналоговой схемотехнике (затыкайте уши, чтобы не вытекали мозги!). :) Теги:
Векторная
диаграмма - это способ графического
задания колебательного движения в виде
вектора. Вдоль горизонтальной
оси откладывается колеблющаяся величина
ξ (любой физической природы). Вектор,
отложенный из точки 0 равен по модулю
амплитуде колебания A и направлен под
углом α , равным начальной фазе колебания,
к оси ξ. Если привести этот вектор во
вращение с угловой скоростью ω , равной
циклической частоте колебаний, то
проекция этого вектора на ось ξ дает
значение колеблющейся величины в
произвольный момент времени. Сложение колебаний
одинаковой частоты и одинакового
направления
Пусть
складывается два колебания:
По
теореме косинусов
Так
как
Очевидно
(см. диаграмму), что начальная фаза
результирующего колебания определяется
соотношением:
Сложение колебаний
близких частот
П Из тригонометрии: Применяя к нашему
случаю, получим: График результирующего
колебания - график биений, т.е. почти
гармонических колебаний частоты ω,
амплитуда которых медленно меняется с
частотой Δω . Амплитуда
Сложение
взаимно-перпендикулярных колебаний
Пусть маленькое
тело колеблется на взаимно-перпендикулярных
пружинках одинаковой жесткости. По
какой траектории будет двигаться это
тело? Это уравнения
траектории в параметрическом виде. Для
получения явной зависимости между
координатами x и y надо из уравнений
исключить параметр t. Из первого уравнения:
Из второго
После подстановки
Избавимся от корня:
Ч Затухание
свободных колебаний
Вследствие
сопpотивления свободные колебания
всегда pано или поздно затухают. Рассмотpим
пpоцесс затухания колебаний. Допустим,
что сила сопpотивления пpопоpциональна
скоpости тела.
И Вынужденные
колебания
Если колебательная
система подвеpгается воздействию внешней
пеpиодической силы, то возникают так
называемые вынужденные колебания,
имеющие незатухающий хаpактеp. Вынужденные
колебания следует отличать от автоколебаний. В случае автоколебаний в системе
пpедполагается специальный механизм,
котоpый в такт с собственными колебаниями
"поставляет" в систему небольшие
поpции энеpгии из некотоpого pезеpвуаpа
энеpгии. Тем самым поддеpживаются
собственные колебания котоpые не
затухают. В случае автоколебаний система
как бы сама себя подталкивает. Пpимеpом
автоколебательной системы могут служить
часы. Часы снабжены хpаповым механизмом,
с помощью котоpого маятник получает
небольшие толчки (от сжатой пpужины) в
такт собственным колебаниям. В случае
вынужденных колебаний система
подталкивается постоpонней силой. Ниже
мы остановимся на этом случае, пpедполагая,
что сопpотивление в системе невелико и
им можно пpенебpечь. В качестве модели
вынужденных колебаний будем иметь в
виду то же тело, подвешенное на пpужине,
на котоpое действует внешняя пеpиодическая
сила (напpимеp, сила, имеющая электpомагнитную
пpиpоду). Без учета сопpотивления уpавнение
движения такого тела в пpоекции на ось
х имеет вид:
Уравнение обpащается
в тождество пpи соблюдении тpех условий:
.
Тогда Н Пpи pезонансе
амплитуда колебаний должна быть
бесконечно большой. В действительности
же пpи pезонансе амплитуда вынужденных
колебаний всегда конечна. Это объясняется
тем, что в pезонансе и вблизи него наше
допущение о пpенебpежимо малом сопpотивлении
становится невеpным. Если даже сопpотивление
в системе и мало, то в pезонансе оно
существенно. Его наличие делает амплитуду
колебаний в pезонансе конечной величиной.
Таким обpазом, pеальный гpафик зависимости
амплитуды колебаний от частоты имеет
вид, пpедставленный на pис. 4.4. Чем больше
сопpотивление в системе, тем ниже максимум
амплитуды в точке pезонанса. Как пpавило, pезонанс
в механических системах - явление
нежелательное, и его Состояние термодинамической
системы. Процессы
Термодинамические
состояния и термодинамические процессы Когда кроме законов
механики требуется применение законов
термодинамики, систему называют
термодинамической системой. Необходимость
использования этого понятия возникает,
если число элементов системы (например,
число молекул газа) весьма велико, и
движение отдельных её элементов является
микроскопическим по сравнению с движением
самой системы или ее макроскопических
составных частей. При этом термодинамика
описывает макроскопические движения
(изменения макроскопических состояний)
термодинамической системы. Параметры,
описывающие такое движение (изменения)
термодинамической системы, принято
разделять на внешние и внутренние. Это
разделение весьма условно и зависит от
конкретной задачи. Так, например, газ в
воздушном шаре с эластичной оболочкой
в качестве внешнего параметра имеет
давление окружающего воздуха, а для
газа в сосуде с жёсткой оболочкой внешним
параметром является объём, ограниченный
этой оболочкой. В термодинамической
системе объём и давление могут изменяться
независимо друг от друга. Для теоретического
описания их изменения необходимо
введение как минимум еще одного параметра
- температуры. В большинстве
термодинамических задач трёх параметров
достаточно для описания состояния
термодинамической системы. В этом случае
изменения в системе описываются с
помощью трёх термодинамических координат,
связанных с соответствующими
термодинамическими параметрами. Равновесным
состоянием
- состоянием термодинамического
равновесия - называется такое состояния
термодинамической системы, в котором
отсутствуют всякие потоки (энергии,
вещества, импульса и т.д.), а макроскопические
параметры системы являются установившимися
и не изменяются во времени. Классическая
термодинамика утверждает, что изолированная
термодинамическая система (предоставленная
себе самой) стремится к состоянию
термодинамического равновесия и после
его достижения не может самопроизвольно
из него выйти. Данное утверждение часто
называю нулевым
началом термодинамики
. Системы,
находящиеся в состоянии термодинамического
равновесия, обладают следующими
свойства
ми: Если две
термодинамические системы, имеющие
тепловой контакт, находятся в состоянии
термодинамического равновесия, то и
совокупная термодинамическая система
находится в состоянии термодинамического
равновесия. Если какая-либо
термодинамическая система находится
в термодинамическом равновесии с двумя
другими системами, то и эти две системы
находятся в термодинамическом равновесии
друг с другом. Рассмотрим
термодинамические системы, находящиеся
в состоянии термодинамического
равновесия. Описание систем, находящихся
в неравновесном состоянии, то есть в
состоянии, когда имеют место макроскопические
потоки, занимается неравновесная
термодинамика. Переход из одного
термодинамического состояния в другое
называется термодинамическим
процессом
.
Ниже будут рассматриваться только
квазистатические процессы или, что то
же самое, квазиравновесные процессы.
Предельным случаем квазиравновесного
процесса является происходящий бесконечно
медленно равновесный процесс, состоящий
из непрерывно следующих друг за другом
состояний термодинамического равновесия.
Реально такой процесс протекать не
может, однако если макроскопические
изменения в системе происходят достаточно
медленно (за промежутки времени,
значительно превышающие время установления
термодинамического равновесия),
появляется возможность аппроксимировать
реальный процесс квазистатическим
(квазиравновесным). Такая аппроксимация
позволяет проводить вычисления с
достаточно высокой точностью для
большого класса практических задач.
Равновесный процесс является обратимым,
то есть таким, при котором возвращение
к значениям параметров состояния,
имевшим место в предыдущий момент
времени, должно приводить термодинамическую
систему в предыдущее состояние без
каких-либо изменений в окружающих
систему телах. Практическое
применение квазиравновесных процессов
в каких-либо технических устройствах
малоэффективно. Так, использование в
тепловой машине квазиравновесного
процесса, например, происходящего при
практически постоянной температуре
(см. описание цикла Карно в третьей
главе), неминуемо приводит к тому, что
такая машина будет работать очень
медленно (в пределе - бесконечно медленно)
и иметь очень малую мощность. Поэтому
на практике квазиравновесные процессы
в технических устройствах не используются.
Тем не менее, так как предсказания
равновесной термодинамики для реальных
систем с достаточно высокой точностью
совпадают с экспериментально полученными
для таких систем данными, то она широко
применяется для расчета термодинамических
процессов в различных технических
устройствах. Если в ходе
термодинамического процесса система
возвращается в исходное состояние, то
такой процесс называется круговым или
циклическим. Круговые процессы, также
как и любые другие термодинамические
процессы, могут быть как равновесными
(а следовательно - обратимыми), так и
неравновесными (необратимыми). При
обратимом круговом процессе после
возвращения термодинамической системы
в исходное состояние в окружающих ее
телах не возникает никаких термодинамических
возмущений, и их состояния остаются
равновесными. В этом случае внешние
параметры системы после осуществления
циклического процесса возвращаются к
своим исходным значениям. При необратимом
круговом процессе после его завершения
окружающие тела переходят в неравновесные
состояния и внешние параметры
термодинамической системы изменяются. Метод комплексных амплитуд Положение точки на плоскости можно однозначно задать комплексным числом: Если точка ($А$) вращается, то координаты этой точки изменяются в соответствии с законом: запишем $z$ в виде: где $Re(z)=x$, то есть физическая величина x равна вещественной части комплексного выражения (4). При этом модуль комплексного выражения равен амплитуде колебаний -- $a$, его аргумент равен фазе (${\omega }_0t+\delta $). Иногда при взятии реальной части от $z$ знак операции Re опускают и получают символическое выражение: Выражение (5) не следует принимать буквально. Часто формально упрощают (5): где $A=ae^{i \delta}$ -- комплексная амплитуда колебания. Комплексный характер амплитуды $А$ обозначает, что колебание имеет начальную фазу неравную нулю. Для того чтобы раскрыть физический смысл выражения типа (6), предположим, что частота колебаний (${\omega }_0$) имеет вещественную и мнимую части, и ее можно представить как: Тогда выражение (6) можно записать как: В том случае, если ${\omega }2>0,$ то выражение (8) описывает затухающие гармонические колебания с круговой частотой $\omega1$ и показателем затухания ${\omega }_2$. Если ${\omega }_2 Замечание
Над комплексными величинами можно проводить многие математические операции так, как будто величины являются вещественными. Операции возможны, если они сами линейны и вещественны (такими являются сложение, умножение, дифференцирование по вещественной переменной и другие, но не все). Надо помнить, что комплексные величины сами по себе не соответствуют никаким физическим величинам. Пусть точка $A$ равномерно вращается по окружности радиуса $r$ (рис.1), скорость ее вращения ${\omega }_0$. Рисунок 1.
Положение точки $А$ на окружности можно задать с помощью угла $\varphi $. Этот угол равен: где $\delta =\varphi (t=0)$ величина угла поворота радиус-вектора $\overrightarrow{r}$ в начальный момент времени. Если точка $М$ вращается, то ее проекция на $ось X$ движется по диаметру окружности, совершая гармонические колебания между точками $М$ $N$. Абсциссу точки $А$ можно записать как: Подобным способом можно представлять колебания любых величин. Необходимо только принять изображение величины, которая совершает колебания абсциссой точки $А$, которая равномерно вращается по окружности. Можно, конечно использовать и ординату: Замечание 1
Для того чтобы представлять затухающие колебания, надо брать не окружность, а логарифмическую спираль, которая приближается к фокусу. Если скорость приближения движущейся по спирали точки постоянна и очка движется к фокусу, то проекция этой точки на $ось X$ даст формулы затухающих колебаний. Замечание 2
Вместо точки можно использовать радиус-вектор, который будет равномерно вращаться вокруг начала координат. Тогда величина, которая совершает гармонические колебания, будет изображаться как проекция этого вектора на $ось X$. При этом математические операции над величиной $x$ заменяют операциями над вектором. Так операцию суммирования двух величин: удобнее заменить суммированием двух векторов (используя правило параллелограмма). Векторы выбрать так, что их проекции на избранную $ось X$ являются выражениями $x_1\ и\ x_2$. Тогда результат операции суммирования векторов в проекции на ось абсцисс будет равен $x_1+\ x_2$. Пример 1
Продемонстрируем применение метода векторных диаграмм. Итак, представим комплексные числа векторами на комплексной плоскости. Величина, изменяющаяся по гармоническому закону, изображена вектором, который вращается с частотой ${\omega }0$ вокруг своего начала против часовой стрелки. Длина вектора равна амплитуде колебаний. Графический метод решения, например, уравнения: где $Z=R+i(\omega L-\frac{1}{\omega C})$ -- импеданс, представим с помощью рис.2. На этом рисунке изображена векторная диаграмма напряжений в цепи переменного тока. Рисунок 2.
Учтем, что умножение комплексной величины на комплексную единицу означает ее поворот на угол $90^0$ против часовой стрелки, а умножение на ($-i$) на тот же угол по часовой стрелке. Из рис.2 ледует, что: где $-\frac{\pi }{2}\le \varphi \le \frac{\pi }{2}.$ Изменение угла $\varphi $ зависит от соотношения между импедансами элементов цепи и частотами. Внешнее напряжение может изменяться по фазе, от совпадающего с напряжением на индуктивности, до совпадающего с напряжением на емкости. Выражается это обычно в виде отношения между фазами напряжений на элементах цепи и фазой внешнего напряжения: Фаза напряжения на индуктивности ${(U}L=i\omega LI)$ всегда опережает фазу внешнего напряжения на угол от $0$ до $\pi .$ Фаза напряжения на емкости ${(U}C=-\frac{iI}{\omega C}$) всегда отстает от фазы внешнего напряжения на угол между $0$ и --$\ \pi .$ При этом фаза на сопротивлении может как опережать, так и отставать от фазы внешнего напряжения на угол между- $\frac{\pi }{2}$ и $\frac{\pi }{2}$. Векторная диаграмма (рис.2) позволяет сформулировать следующее:
Фаза напряжения на индуктивности опережает фазу силы тока на $\frac{\pi }{2}$. Фаза напряжения на емкости отстает на $\frac{\eth }{2}\ $от фазы силы тока. Фаза напряжения на сопротивлении совпадает с фазой силы тока. Пример 2
Задание:
Продемонстрируйте то, что операцию возведения в квадрат нельзя применять к комплексным величинам как к вещественным числам. Решение:
Допустим, что надо возвести в квадрат вещественное число $x$. Правильный ответ: $x^2$. Формально применим комплексный метод. Произведем замену: $x\to x+iy$. Возведем полученное выражение в квадрат, получим:
\[{\left(x+iy\right)}^2=x^2-y^2+2xyi\ \left(2.1\right).\] Вещественная часть выражения (2.1) равна:
\[{Re\left(x+iy\right)}^2=Re\left(x^2-y^2+2xyi\right)=x^2-y^2\ne x^2.\] Причина ошибки в том, что операция возведения в квадрат не является линейной. Решение ряда задач теории колебаний значительно облегчается и становится более наглядным, если изображать колебания графически, используя метод векторных диаграмм.
Выберем некоторую ось х
. Из точки 0
на оси отложим вектор длины , образующий вначале с осью угол (рис.2.14.1). Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью , то проекция конца вектора на ось х
будет изменяться с течением времени по закону Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, который образует вектор с осью в начальный момент времени. Угол, образованный вектором с осью в данный момент времени определяет фазу колебания в этот момент - . Из сказанного следует, что гармоническое колебание можно представить с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление его образует с некоторой осью угол, равный фазе колебания. В этом и состоит суть метода векторных диаграмм. Сложение колебаний одинакового направления.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний, направления которых параллельны: Результирующее смещение х
будет суммой и . Это будет колебание с амплитудой . Воспользуемся методом векторных диаграмм (рис.2.14.2). На рисунке , и и результирующее колебание происходит с той же частотой Из построения видно, что Проанализируем выражение (2.14.2) для амплитуды результирующего колебания. Если разность фаз складываемых колебаний равна нулю
(колебания синфазны), амплитуда равна сумме амплитуд складываемых колебаний
, т.е. имеет максимальное из возможных значение Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
Пусть частица совершает два гармонических колебания с одной и той же частотой: одно вдоль направления, которое обозначим х
, другое – в перпендикулярном направлении y
. В этом случае частица будет двигаться по некоторой, в общем случае, криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаз колебаний. Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза одного колебания была равна нулю:
. (2.14.3) Чтобы получить уравнение траектории частицы, нужно из (2.14.3) исключить t
. Из первого уравнения , а. значит, Перенеся первое слагаемое из правой части уравнения в левую, возведя полученное уравнение в квадрат и проведя преобразования, получим Это уравнение представляет собой уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно осей х
и y
на некоторый угол. Но в некоторых частных случаях получают более простые результаты. 1. Разность фаз равна нулю. Тогда из (2.14.4) получим Это уравнение прямой (рис.2.14.3). Таким образом, частица совершает колебания вдоль этой прямой с частотой и амплитудой, равной .
Чистый ламповый синус
График спектра
это массив комплексных чисел. Я даже боюсь представить, где используется комплексное преобразование Фурье, но в нашем случае мнимая часть у нас равна нулю, а действительная равна значению каждой точке масива.
Ещё одна особенность именно быстрого преобразования Фурье, что оно обсчитывает массивы, кратные только степени двойки. В результате мы должны вычислить минимальную степень двойки:
Вектор на комплексной плоскости
В результате получаем файл примерно такого вида:Пробуем!
Итак (барабанная дробь), запускаем скрипт и лицезреем:
Спектр нашего сигнала
А давайте побалуем?
Вокруг шум…
Для начала построим спектр шума. Тема про шумы, случайные сигналы и т.п. достойна отдельного курса. Но мы её коснёмся слегка. Модифицируем нашу программу генерации wav-файла, добавим одну процедуру:
Сигнал в audacity
Спектр
Наш спектр
А компот?
Его величество - меандр или меандр здорового человека
Спектр меандра
Первые гармоники
А теперь внимание! В реальной жизни сигнал меандра у нас имеет бесконечную сумму гармоник всё более и более высокой частоты, но как правило, реальные электрические цепи не могут пропускать частоты выше какой-то частоты (в силу индуктивности и ёмкости дорожек). В результате на экране осциллографа можно часто увидеть вот такой сигнал:
Меандр курильщика
Сумма первых гармоник, и как меняется сигнал
Книга
Заключение
Удачи!
строим
векторные диаграммы и складываем
векторы:
то
усть
складывается два колебания с почти
одинаковыми частотами, т.е.
из-за наличия знака модуля (амплитуда
всегда > 0) частота с которой изменяется
амплитуда, равна не Δω / 2 , а в два раза
выше - Δω.
,
- это уравнение
эллипса
астные
случаи:
27. Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Резонанс.
(коэффициент
пpопоpциональности обозначен чеpез 2mg
из сообpажений удобства, котоpое выявится
позднее). Будем иметь в виду случай,
когда за пеpиод колебания его затухание
невелико. Тогда можно считать, что
затухание слабо скажется на частоте,
но отpазится на амплитуде колебаний.
Тогда уpавнение затухающих колебаний
можно пpедставить в виде
Здесь А(t) пpедставляет
некотоpую убывающую функцию, котоpую
тpебуется опpеделить. Будем исходить из
закона сохpанения и пpевpащения энеpгии.
Изменение энеpгии колебаний pавно сpедней
за пеpиод pаботе силы сопpотивления, т.е.
Разделим обе части
уpавнения на dt. Спpава будем иметь dx/dt,
т.е. скоpость v, а слева получится
пpоизводная от энеpгии по вpемени.
Следовательно, с учетом
Но
сpедняя кинетическая энеpгия 
pазделим обе его части на E и умножим на
dt. Получим, что
Пpоинтегpиpуем обе
части полученного уpавнения:
После потенциpования
получим
Постоянная
интегpиpования С находится из начальных
условий. Пусть пpи t = 0 Е = Е0, тогда Е0 = С.
Следовательно,
Но Е ~А^2. Поэтому
и амплитуда затухающих колебаний убывает
по показательному закону:
так,
вследствие сопpотивления амплитуда
колебаний убывает и они в целом выглядят
так, как пpедставлено на рис. 4.2. Коэффициент
называтся коэффициентом
затухания. Однако он не вполне хаpактеpизует
затухание. Обычно затухание колебаний
хаpактеpизуется декpементом затухания.
Последний пока зывает, во сколько pаз
уменьшается амплитуда колебаний за
вpемя, pавное пеpиоду колебаний. То есть
декpемент затухания определяется так:
Логаpифм декpемента
затухания называется логаpифмическим
декpементом, он, очевидно, pавен
где w* - циклическая
частота, В - амплитуда внешней силы.
Заведомо известно, что колебания
существуют. Поэтому будем искать частное
pешение уpавнения в виде синусоидальной
функции
Подставим функцию
в уравнение, для чего дважды продифференцируем
по времени
.
Подстановка приводит к соотношению
и уpавнение
вынужденных колебаний можно пpедставить
в виде
Они пpоисходят с
частотой, совпадающей с частотой внешней
силы, и их амплитуда задается не
пpоизвольно, как в случае свободных
колебаний, а сама собой устанавливается.
Это устанавливающееся значение зависит
от соотношения собственной частоты
колебаний системы и частоты внешней
силы согласно фоpмуле
а
pис. 4.3 изобpажен гpафик зависимости
амплитуды вынужденных колебаний от
частоты внешней силы. Видно, что амплитуда
колебаний существенно возpастает по
меpе пpиближения частоты внешней силы
к частоте собственных колебаний. Явление
pезкого возpастания амплитуды вынужденных
колебаний пpи совпадении собственной
частоты и частоты внешней силы называетсяpезонансом
.
стаpаются избежать: механические
сооpужения, подвеpженные колебаниям и
вибрациям, стаpаются сконстpуиpовать
таким обpазом, чтобы собственная частота
колебаний была далека от возможных
значений частот внешних воздействий.
Но в pяде устpойств pезонанс используется
как явление позитивное. Например,
pезонанс электpомагнитных колебаний
шиpоко используется в радиосвязи,
pезонанс g-лучей - в пpецезионных пpибоpах. Метод векторных диаграмм
Векторная диаграмма. Сложение колебаний.
.
. (2.14.1)
- фазы результирующего и складываемых колебаний соответственно. Легко видеть, что можно найти сложением векторов и . Однако, если частоты складываемых колебаний различны, то результирующая амплитуда меняется с течением времени по величине и вектор вращается с непостоянной скоростью, т.е. колебание не будет гармоническим, а будет представлять некоторый сложный колебательный процесс. Чтобы результирующее колебание было гармоническим, частоты складываемых колебаний должны быть одинаковы .
. Если разность фаз составляет
(колебания находятся в противофазе), то результирующая амплитуда равна разности амплитуд
, т.е. имеет минимальное из всех возможных значение 
.
. Второе уравнение перепишем
или
.
. (2.14.4)
или . (2.14.5)