Введение........................................................................................................... 3

1 Марковские цепи с конечным числом состояний и дискретным временем 4

2 Марковские цепи с конечным числом состояний и непрерывным временем 8

3 Процессы рождения и гибели.................................................................... 11

4 Основные понятия и классификация систем массового обслуживания... 14

5 Основные типы открытых систем массового обслуживания.................... 20

5.1 Одноканальная система массового обслуживания с отказами.............. 20

5.2 Многоканальная система массового обслуживания с отказами........... 21

5.3 Одноканальная система массового обслуживания с ограниченной длиной очереди........................................................................................................................ 23

5.4 Одноканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью........................................................................................................................ 26

5.5 Многоканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью........................................................................................................................ 27

5.6 Многоканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью........................................................................................................................ 30

5.7 Многоканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью и ограниченным временем ожидания в очереди............................................. 32

6 Метод Монте-Карло................................................................................... 36

6.1 Основная идея метода............................................................................. 36

6.2 Разыгрывание непрерывной случайной величины................................ 36

6.3 Случайная величина с экспоненциальным распределением................. 38

7 Исследование системы массового обслуживания..................................... 40

7.1 Проверка гипотезы о показательном распределении............................ 40

7.2 Расчет основных показателей системы массового обслуживания........ 45

7.3 Выводы о работе исследуемой СМО..................................................... 50

8 Исследование видоизмененной СМО........................................................ 51

Заключение.................................................................................................... 53

Список использованных источников............................................................ 54

Введение

Темой моей дипломной работы является исследование системы массового обслуживания. В своем изначальном состоянии рассматриваемая мной СМО представляет собой один из классических случаев, а конкретно M/M/2/5 по принятому обозначению Кэндалла. После исследования системы были сделаны выводы о неэффективности ее работы. Были предложены методы оптимизации работы СМО, но с этими изменениями система перестает быть классической. Основная проблема при исследовании систем массового обслуживания заключается в том, что в реальности они могут быть исследованы с использованием классической теории массового обслуживания только в редких случаях. Потоки входящих и исходящих заявок могут оказаться не простейшими, следовательно, нахождение предельных вероятностей состояний с использованием системы дифференциальных уравнений Колмогорова невозможно, в системе могут присутствовать приоритетные классы, тогда расчет основных показателей СМО также невозможен.

Для оптимизации работы СМО была введена система из двух приоритетных классов и увеличено число обслуживающих каналов. В таком случае целесообразно применить методы имитационного моделирования, например метод Монте-Карло. Основная идея метода заключается в том, что вместо неизвестной случайной величины принимается ее математическое ожидание в достаточно большой серии испытаний. Производится разыгрывание случайной величины (в данном случае это интенсивности входящего и исходящего потоков) изначально равномерно распределенной. Затем осуществляется переход от равномерного распределения к показательному распределению, посредством формул перехода. Была написана программа на языке VisualBasic, реализующая этот метод.

1 Марковские цепи с конечным числом состояний и дискретным временем

Пусть некоторая система S может находиться в одном из состояний конечного (или счетного) множества возможных состояний S 1 , S 2 ,…, S n , а переход из одного состояния в другое возможен только в определенные дискретные моменты времени t 1 , t 2 , t 3 , называемые шагами.

Если система переходит из одного состояния в другое случайно, то говорят, что имеет место случайный процесс с дискретным временем.

Случайный процесс называется марковским, если вероятность перехода из любого состояния S i в любое состояние S j не зависит от того, как и когда система S попала в состояние S i (т.е. в системе S отсутствует последствие). В таком случае говорят, что функционирование системы S описывается дискретной цепью Маркова.

Переходы системы S в различные состояния удобно изображать с помощью графа состояний (рис. 1).

Рисунок 1 – Пример размеченного графа состояний

Вершины графа S 1 , S 2 , S 3 обозначают возможные состояния системы. Стрелка, направленная из вершины S i в вершину S j обозначает переход ; число, стоящее рядом со стрелкой, обозначает величину вероятности этого перехода. Стрелка, замыкающаяся на i-той вершине графа, обозначает, что система остается в состоянии S i с вероятностью, стоящей у стрелки.

Графу системы, содержащему n вершин, можно поставить в соответствие матрицу NxN, элементами которой являются вероятности переходов p ij между вершинами графа. Например, граф на рис. 1 описывается матрицей P:

называемой матрицей вероятностей переходов. Элементы матрицы p ij удовлетворяют условиям:

Элементы матрицы p ij – дают вероятности переходов в системе за один шаг. Переход

S i – S j за два шага можно рассматривать как происходящий на первом шаге из S i в некоторое промежуточное состояние S k и на втором шаге из S k в S i . Таким образом, для элементов матрицы вероятностей переходов из S i в S j за два шага получим:

В общем случае перехода за m шагов для элементов матрицы вероятностей переходов справедлива формула:

(3)

Получим два эквивалентных выражения для :

Пусть система S описывается матрицей вероятностей переходов Р:

Если обозначить через Р(m) матрицу, элементами которой являются рi вероятности переходов из S i в S j за m шагов, то справедлива формула

где матрица Р m получается умножением матрицы P саму на себя m раз.

Исходное состояние системы характеризуется вектором состояния системы Q(q i) (называемым также стохастическим вектором).

где q j - вероятность того, что исходным состоянием системы является S j состояние. Аналогично (1) и (2) справедливы соотношения

Обозначим через

вектор состояния системы после m шагов, где q j – вероятность того, что после m шагов система находится в S i состоянии. Тогда справедлива формула

Если вероятности переходов P ij остаются постоянными, то такие марковские цепи называются стационарными. В противном случае марковская цепь называется нестационарной.

2. Марковские цепи с конечным числом состояний и непрерывным временем

Если система S может переходить в другое состояние случайным образом в произвольный момент времени, то говорят о случайном процессе с непрерывным временем. В отсутствии последействия такой процесс называется непрерывной марковской цепью. При этом вероятности переходов для любых i и j в любой момент времени равны нулю (в силу непрерывности времени). По этой причине вместо вероятности перехода вводится величина - плотность вероятности перехода из состояния в состояние , определяемая как предел:

Если величины не зависят от t, то марковский процесс называется однородным. Если за время система может изменить свое состояние не более чем один раз, то говорят, что случайный процесс является ординарным. Величину называют интенсивностью перехода системы из S i в S j . На графе состояний системы численные значения ставят рядом со стрелками, показывающими переходы в вершины графа.

Зная интенсивности переходов можно найти величины p 1 (t), p 2 (t),…, p n (t) – вероятности нахождения системы S в состояниях S 1 , S 2 ,…, S n соответственно. При этом выполняется условие:

Распределение вероятностей состояний системы, которое можно характеризовать вектором , называется стационарным, если оно не зависит от времени, т.е. все компоненты вектора являются константами.

Состояния S i и Sj называются сообщающимися, если возможны переходы .

Состояние S i называется существенным, если всякое S j , достижимое из S i , является сообщающимся с S i . Состояние S i называется несущественным, если оно не является существенным.

Если существуют предельные вероятности состояний системы:

,

не зависящие от начального состояния системы, то говорят, что при в системе устанавливается стационарный режим.

Система, в которой существуют предельные (финальные) вероятности состояний системы, называется эргодической, а протекающий в ней случайный процесс эргодическим.

Теорема 1. Если S i – несущественное состояние, то т.е. при система выходит из любого несущественного состояния.

Теорема 2. Чтобы система с конечным числом состояний имела единственное предельное распределение вероятностей состояний, необходимо и достаточно, чтобы все ее существенные состояния сообщались между собой.

Если случайный процесс, происходящий в системе с дискретными состояниями является непрерывной марковской цепью, то для вероятностей p 1 (t), р 2 (t),…, p n (t) можно составить систему линейных дифференциальных уравнений, называемых уравнениями Колмогорова. При составлении уравнений удобно пользоваться графом состояний системы. В левой части каждого из них стоит производная вероятности какого-то (j-го) состояния. В правой части – сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых возможен переход в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного (j-го) состояния, умноженная на вероятность данного (j-го) состояния.

3 Процессы рождения и гибели

Так называется широкий класс случайных процессов, происходящих в системе, размеченный граф состояний которой изображен на рис. 3.

Рисунок 2 – Граф состояний для процессов гибели и размножения

Здесь величины , ,…, – интенсивности переходов системы из состояния в состояние слева направо, можно интерпретировать как интенсивности рождения (возникновения заявок) в системе. Аналогично, величины ,,…, – интенсивности переходов системы из состояния в состояние справа налево, можно интерпретировать как интенсивности гибели (выполнения заявок) в системе.

Поскольку все состояния являются сообщающимися и существенными, существует (в силу теоремы 2) предельное (финальное) распределение вероятностей состояний. Получим формулы для финальных вероятностей состояний системы.

В стационарных условиях для каждого состояния поток, входящий в данное состояние должен равняться потоку, исходящему из данного состояния. Таким образом, имеем:

Для состояния S 0:

Следовательно:

Для состояния S 1:

Следовательно:

С учетом того, что :

(4)

, ,…, (5)

4. Основные понятия и классификация систем массового обслуживания

Заявкой (или требованием) называется спрос на удовлетворение какой-либо потребности (далее потребности предполагаются однотипными). Выполнение заявки называется обслуживанием заявки.

Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система для выполнения заявок, поступающих в неё в случайные моменты времени.

Поступление заявки в СМО называется событием. Последовательность событий, заключающихся в поступлении заявок в СМО, называется входящим потоком заявок. Последовательность событий, заключающихся в выполнении заявок в СМО, называется выходящим потоком заявок.

Поток заявок называется простейшим, если он удовлетворяет следующим условиям:

1) отсутствие последействия, т.е. заявки поступают независимо друг от друга;

2) стационарность, т.е. вероятность поступления данного числа заявок на любом временном отрезке зависит лишь от величины этого отрезка и не зависит от значения t 1 , что позволяет говорить о среднем числе заявок за единицу времени, λ, называемом интенсивностью потока заявок;

3) ординарность, т.е. в любой момент времени в СМО поступает лишь одна заявка, а поступление одновременно двух и более заявок пренебрежимо мало.

Для простейшего потока вероятность p i (t) поступления в СМО ровно i заявок за время t вычисляется по формуле:

(6)

т.е. вероятности распределены по закону Пуассона с параметром λt. По этой причине простейший поток называется также пуассоновским потоком.

Функция распределения F(t) случайного интервала времени T между двумя последовательными заявками по определению равна . Но , где – вероятность того, что следующая после последней заявки поступит в СМО по истечении времени t, т.е. за время t в СМО не поступит ни одна заявка. Но вероятность этого события находится из (6) при i = 0. Таким образом:

Плотность вероятности f(t) случайной величины T определяется формулой:

,

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины T равны соответственно:

Каналом обслуживания называется устройство в СМО, обслуживающее заявку. СМО, содержащее один канал обслуживания, называется одноканальной, а содержащее более одного канала обслуживания – многоканальной.

Если заявка, поступающая в СМО, может получить отказ в обслуживании (в силу занятости всех каналов обслуживания) и в случае отказа вынуждена покинуть СМО, то такая СМО называется СМО с отказами.

Если в случае отказа в обслуживании заявки могут вставать в очередь, то такие СМО называются СМО с очередью (или с ожиданием). При этом различают СМО с ограниченной и неограниченной очередью. Очередь может быть ограничена как по количеству мест, так и по времени ожидания. Различают СМО открытого и замкнутого типа. В СМО открытого типа поток заявок не зависит от СМО. В СМО замкнутого типа обслуживается ограниченный круг клиентов, а число заявок может существенно зависеть от состояния СМО (например, бригада слесарей – наладчиков, обслуживающих станки на заводе).

СМО могут также различаться по дисциплине обслуживания.

Если в СМО нет приоритета, то заявки отбираются из очереди в канал по различным правилам.

· Первым пришел – первым обслужен (FCFS – First Came – First Served)

· Последним пришел – первым обслужен (LCFS – Last Came – First Served)

· Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей длительностью обслуживания (SPT/SJE)

· Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей длительностью дообслуживания (SRPT)

· Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей средней длительностью обслуживания (SEPT)

· Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей средней длительностью дообслуживания (SERPT)

Приоритеты бывают двух типов – абсолютный и относительный.

Если требование в процессе обслуживания может быть удалено из канала и возвращено в очередь (либо вовсе покидает СМО) при поступлении требования с более высоким приоритетом, то система работает с абсолютным приоритетом. Если обслуживание любого требования, находящегося в канале не может быть прервано, то СМО работает с относительным приоритетом. Существуют также приоритеты, осуществляемые с помощью конкретного правила или набора правил. Примером может служить приоритет, изменяющийся с течением времени.

СМО описываются некоторыми параметрами, которые характеризуют эффективность работы системы.

– число каналов в СМО;

– интенсивность поступления в СМО заявок;

– интенсивность обслуживания заявок;

– коэффициент загрузки СМО;

– число мест в очереди;

– вероятность отказа в обслуживании поступившей в СМО заявки;

– вероятность обслуживания поступившей в СМО заявки (относительная пропускная способность СМО);

При этом:

(8)

А – среднее число заявок, обслуживаемых в СМО в единицу времени (абсолютная пропускная способность СМО)

– среднее число заявок, находящихся в СМО

– среднее число каналов в СМО, занятых обслуживанием заявок. В тоже время это – среднее число заявок, обслуживаемых в СМО за единицу времени. Величина определяется как математическое ожидание случайного числа занятых обслуживанием n каналов.

, (10)

где – вероятность нахождения системы в S k состоянии.

– коэффициент занятости каналов

– среднее время ожидания заявки в очереди

– интенсивность ухода заявок из очереди

– среднее число заявок в очереди. Определяется как математическое ожидание случайной величины m – числа заявок, состоящих в очереди

(11)

Здесь – вероятность нахождения в очереди i заявок;

– среднее время пребывания заявки с СМО

– среднее время пребывания заявки в очереди

Для открытых СМО справедливы соотношения:

(12)

Эти соотношения называются формулами Литтла и применяются только для стационарных потоков заявок и обслуживания.

Рассмотрим некоторые конкретные типы СМО. При этом будет предполагаться, что плотность распределения промежутка времени между двумя последовательными событиями в СМО имеет показательное распределение (7), а все потоки являются простейшими.

5. Основные типы открытых систем массового обслуживания

5.1 Одноканальная система массового обслуживания с отказами

Размеченный граф состояний одноканальной СМО представлен на рисунке 3.

Рисунок 3 – Граф состояний одноканальной СМО

Здесь и – интенсивность потока заявок и выполнения заявок соответственно. Состояние системы S o обозначает, что канал свободен, а S 1 – что канал занят обслуживанием заявки.

Система дифференциальных уравнений Колмогорова для такой СМО имеет вид:

где p o (t) и p 1 (t) – вероятности нахождения СМО в состояниях So и S1 соответственно. Уравнения для финальных вероятностей p o и p 1 получим, приравнивая нулю производные в первых двух уравнениях системы. В результате получим:

(14)

(15)

Вероятность p 0 по своему смыслу есть вероятность обслуживания заявки p обс, т. к. канал является свободным, а вероятность р 1 по своему смыслу является вероятностью отказа в обслуживании поступающей в СМО заявки р отк, т. к. канал занят обслуживанием предыдущей заявки.

5.2 Многоканальная система массового обслуживания с отказами

Пусть СМО содержит n каналов, интенсивность входящего потока заявок равна , а интенсивность обслуживания заявки каждым каналом равна . Размеченный граф состояний системы изображён на рисунке 4.

Рисунок 4 – Граф состояний многоканальной СМО с отказами

Состояние S 0 означает, что все каналы свободны, состояние S k (k = 1, n) означает, что обслуживанием заявок заняты k каналов. Переход из одного состояния в другое соседнее правое происходит скачкообразно под воздействием входящего потока заявок интенсивностью независимо от числа работающих каналов (верхние стрелки). Для перехода системы из одного состояния в соседнее левое неважно, какой именно канал освободится. Величина характеризует интенсивность обслуживания заявок при работе в СМО k каналов (нижние стрелки).

Сравнивая графы на рис. 3 и на рис. 5 легко увидеть, что многоканальная СМО с отказами является частным случаем системы рождения и гибели, если в последней принять и

(16)

При этом для нахождения финальных вероятностей можно воспользоваться формулами (4) и (5). С учётом (16) получим из них:

(17)

(18)

Формулы (17) и (18) называются формулами Эрланга – основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа в обслуживании заявки р отк равна вероятности того, что все каналы заняты, т.е. система находится в состоянии S n . Таким образом,

(19)

Относительную пропускную способность СМО найдём из (8) и (19):

(20)

Абсолютную пропускную способность найдём из (9) и (20):

Среднее число занятых обслуживанием каналов можно найти по формуле (10), однако сделаем это проще. Так как каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем заявок, то можно найти по формуле:

5.3 Одноканальная система массового обслуживания с ограниченной длиной очереди

В СМО с ограниченной очередью число мест m в очереди ограничено. Следовательно, заявка, поступившая в момент времени, когда все места в очереди заняты, отклоняется и покидает СМО. Граф такой СМО представлен на рисунке 5.

S 0

Рисунок 5 – Граф состояний одноканальной СМО с ограниченной очередью

Состояния СМО представляются следующим образом:

S 0 – канал обслуживания свободен,

S 1 – канал обслуживания занят, но очереди нет,

S 2 – канал обслуживания занят, в очереди одна заявка,

S k +1 – канал обслуживания занят, в очереди k заявок,

S m +1 – канал обслуживания занят, все m мест в очереди заняты.

Для получения необходимых формул можно воспользоваться тем обстоятельством, что СМО на рисунок 5 является частным случаем системы рождения и гибели, представленной на рисунке 2, если в последней принять и

(21)

Выражения для финальных вероятностей состояний рассматриваемой СМО можно найти из (4) и (5) с учётом (21). В результате получим:

При р = 1 формулы (22), (23) принимают вид

При m = 0 (очереди нет) формулы (22), (23) переходят в формулы (14) и (15) для одноканальной СМО с отказами.

Поступившая в СМО заявка получает отказ в обслуживании, если СМО находится в состоянии S m +1 , т.е. вероятность отказа в обслуживании заявки равна:

Относительная пропускная способность СМО равна:

Среднее число заявок, стоящих в очереди L оч, находится по формуле

и может быть записано в виде:

(24)

При формула (24) принимает вид:

– среднее число заявок, находящихся в СМО, находится по формуле(10)

и может быть записано в виде:

(25)

При , из (25) получим:

Среднее время пребывания заявки в СМО и в очереди находится по формулам (12) и (13) соответственно.

5.4 Одноканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью

Примером такой СМО может служить директор предприятия, вынужденный рано или поздно решать вопросы, относящиеся к его компетенции, или, например, очередь в булочной с одним кассиром. Граф такой СМО изображён на рисунке 6.

Рисунок 6 – Граф состояний одноканальной СМО с неограниченной очередью

Все характеристики такой СМО можно получить из формул предыдущего раздела, полагая в них . При этом необходимо различать два существенно разных случая: а) ; б) . В первом случае, как это видно из формул (22), (23), р 0 = 0 и p k = 0 (при всех конечных значениях k). Это означает, что при очередь неограниченно возрастает, т.е. этот случай практического интереса не представляет.

Рассмотрим случай, когда . Формулы (22) и (23) при этом запишутся в виде:

Поскольку в СМО отсутствует ограничение на длину очереди, то любая заявка может быть обслужена, т.е.

Абсолютная пропускная способность равна:

Среднее число заявок в очереди получим из формулы (24) при :

Среднее число обслуживаемых заявок есть:

Среднее время пребывания заявки в СМО и в очереди определяются формулами (12) и (13).

5.5 Многоканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью

Пусть на вход СМО, имеющей каналов обслуживания, поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью . Интенсивность обслуживания заявки каждым каналом равна , а максимальное число мест в очереди равно .

Граф такой системы представлен на рисунке 7.

Рисунок 7 – Граф состояний многоканальной СМО с ограниченной очередью

– все каналы свободны, очереди нет;

– заняты l каналов (l = 1, n), очереди нет;

Заняты все n каналов, в очереди находится i заявок (i = 1, m).

Сравнение графов на рисунке 2 и рисунке 7 показывает, что последняя система является частным случаем системы рождения и гибели, если в ней сделать следующие замены (левые обозначения относятся к системе рождения и гибели):

Выражения для финальных вероятностей легко найти из формул (4) и (5). В результате получим:

(26)

Образование очереди происходит, когда в момент поступления в СМО очередной заявки все каналы заняты, т.е. в системе находятся либо n, либо (n+1),…, либо (n + m– 1) заявок. Т.к. эти события несовместны, то вероятность образования очереди p оч равна сумме соответствующих вероятностей :

(27)

Относительная пропускная способность равна:

Среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется по формуле (11) и может быть записано в виде:

(28)

Среднее число заявок, находящихся в СМО:

Среднее время пребывания заявки в СМО и в очереди определяется формулами (12) и (13).

5.6 Многоканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью

Граф такой СМО изображен на рисунке 8 и получается из графа на рисунке 7 при .

Рисунок 8 – Граф состояний многоканальной СМО с неограниченной очередью

Формулы для финальных вероятностей можно получить из формул для n-канальной СМО с ограниченной очередью при . При этом следует иметь в виду, что при вероятность р 0 = р 1 =…= p n = 0, т.е. очередь неограниченно возрастает. Следовательно, этот случай практического интереса не представляет и ниже рассматривается лишь случай . При из (26) получим:

Формулы для остальных вероятностей имеют тот же вид, что и для СМО с ограниченной очередью:

Из (27) получим выражение для вероятности образования очереди заявок:

Поскольку очередь не ограничена, то вероятность отказа в обслуживании заявки:

Абсолютная пропускная способность:

Из формулы (28) при получим выражение для среднего числа заявок в очереди:

Среднее число обслуживаемых заявок определяется формулой:

Среднее время пребывания в СМО и в очереди определяется формулами (12) и (13).

5.7 Многоканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью и ограниченным временем ожидания в очереди

Отличие такой СМО от СМО, рассмотренной в подразделе 5.5, состоит в том, что время ожидания обслуживания, когда заявка находится в очереди, считается случайной величиной, распределённой по показательному закону с параметром , где – среднее время ожидания заявки в очереди, а – имеет смысл интенсивности потока ухода заявок из очереди. Граф такой СМО изображён на рисунке 9.

Рисунок 9 – Граф многоканальной СМО с ограниченной очередью и ограниченным временем ожидания в очереди

Остальные обозначения имеют здесь тот же смысл, что и в подразделе.

Сравнение графов на рис. 3 и 9 показывает, что последняя система является частным случаем системы рождения и гибели, если в ней сделать следующие замены (левые обозначения относятся к системе рождения и гибели):

Выражения для финальных вероятностей легко найти из формул (4) и (5) с учетом (29). В результате получим:

,

где . Вероятность образования очереди определяется формулой:

Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты, т.е. вероятность отказа в обслуживании:

Относительная пропускная способность:

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число заявок, находящихся в очереди, находится по формуле (11) и равно:

Среднее число заявок, обслуживаемых в СМО, находится по формуле (10) и равно:

Среднее время пребывания заявки в СМО складывается из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени обслуживания заявки:

6. Метод Монте-Карло

6.1 Основная идея метода

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а.

Практически же поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое и принимают в качестве оценки (приближённого значения) a * искомого числа a:

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний.

6.2 Разыгрывание непрерывной случайной величины

Пусть необходимо получить значения случайной величины , распределенной в интервале с плотностью . Докажем, что значения можно найти из уравнения

где – случайная величина, равномерно распределенная на интервале .

Т.е. выбрав очередное значение надо решить уравнение (30) и найти очередное значение . Для доказательства рассмотрим функцию:

Имеем общие свойства плотности вероятности:

Из (31) и (32) следует, что , а производная .

Значит, функция монотонно возрастает от 0 до 1. И любая прямая , где , пересекает график функции в единственной точке, абсциссу которой мы и принимаем за . Таким образом, уравнение (30) всегда имеет одно и только одно решение.

Выберем теперь произвольный интервал , содержащийся внутри . Точкам этого интервала отвечают ординаты кривой, удовлетворяющие неравенству . Поэтому, если принадлежит интервалу , то

Принадлежит интервалу , и наоборот. Значит: . Т.к. равномерно распределена в , то

, а это как раз и означает, что случайная величина , являющаяся корнем уравнения (30) имеет плотность вероятностей .

6.3 Случайная величина с экспоненциальным распределением

Простейшим потоком (или потоком Пуассона) называется такой поток заявок, когда промежуток времени между двумя последовательными заявками есть случайная величина, распределенная на интервале с плотностью

Вычислим математическое ожидание:

После интегрирования по частям, получим:

.

Параметр есть интенсивность потока заявок.

Формулу для розыгрыша получим из уравнения (30), которое в данном случае запишется так: .

Вычислив интеграл, стоящий слева, получим соотношение . Отсюда, выражая , получим:

(33)

Т.к. величина распределена также как и , следовательно, формулу (33) можно записать в виде:

7 Исследование системы массового обслуживания

7.1 Проверка гипотезы о показательном распределении

Исследуемое мной предприятие представляет собой двухканальную систему массового обслуживания с ограниченной очередью. На вход поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивности обслуживания заявок каждым из каналов μ, а максимальное число мест в очереди m.

Начальные параметры:

Время обслуживания заявок имеет эмпирическое распределение, указанное ниже и имеет среднее значение .

Мной были проведены контрольные замеры времени обработки заявок, поступающих в данную СМО. Чтобы приступить к исследованию, необходимо установить по этим замерам закон распределения времени обработки заявок.

Таблица 6.1 – Группировка заявок по времени обработки

Выдвигается гипотеза о показательном распределении генеральной совокупности.

Для того чтобы, при уровне значимости проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

1) Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю . Для этого, каждый i – й интервал заменяем его серединой и составляем последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.

2) Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, обратную выборочной средней:

3) Найти вероятности попадания X в частичные интервалы по формуле:

4) Вычислить теоретические частоты:

где - объем выборки

5) Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где S – число интервалов первоначальной выборки.

Таблица 6.2 – Группировка заявок по времени обработки с усредненным временным интервалом

Найдем выборочную среднюю:

2) Примем в качестве оценки параметра λ экспоненциального распределения величину, равную . Тогда:

()

3) Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле:

Для первого интервала:

Для второго интервала:

Для третьего интервала:

Для четвертого интервала:

Для пятого интервала:

Для шестого интервала:

Для седьмого интервала:

Для восьмого интервала:

4) Вычислим теоретические частоты:

Результаты вычислений заносим в таблицу. Сравниваем эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона.

Для этого вычислим разности , их квадраты, затем отношения . Суммируя значения последнего столбца, находим наблюдаемое значение критерия Пирсона. По таблице критических точек распределения при уровне значимости и числу степеней свободы находим критическую точку

Таблица 6.3 – Результаты вычислений

i
1	22	0,285	34,77	-12,77	163,073	4,690
2	25	0,204	24,888	0,112	0,013	0,001
3	23	0,146	17,812	5,188	26,915	1,511
4	16	0,104	12,688	3,312	10,969	0,865
5	14	0,075	9,15	4,85	23,523	2,571
6	10	0,053	6,466	3,534	12,489	1,932
7	8	0,038	4,636	3,364	11,316	2,441
8	4	0,027	3,294	0,706	0,498	0,151
122

Т.к. , то нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.

7.2 Расчет основных показателей системы массового обслуживания

Данная система представляет собой частный случай системы гибели и размножения.

Граф данной системы:

Рисунок 10 – Граф состояний исследуемой СМО

Поскольку все состояния являются сообщающимися и существенными, то существует предельное распределение вероятностей состояний. В стационарных условиях поток, входящий в данное состояние должен быть равен потоку, выходящему из данного состояния.

(1)

Для состояния S 0:

Следовательно:

Для состояния S 1:

Следовательно:

С учетом того, что :

Аналогично получаем уравнения для остальных состояний системы. В результате получим систему уравнений:

Решение этой системы будет иметь вид:

; ; ; ; ;

; .

Или, с учетом (1):

Коэффициент загруженности СМО:

С учетом этого предельные вероятности перепишем в виде:

Наивероятнейшее состояние – оба канала СМО заняты и заняты все места в очереди.

Вероятность образования очереди:

Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты, т.е.:

Относительная пропускная способность равна:

Вероятность того, что вновь поступившая заявка будет обслужена, равна 0,529

Абсолютная пропускная способность:

СМО обслуживает в среднем 0,13225 заявок в минуту.

Среднее число заявок, находящихся в очереди:

Среднее число заявок в очереди близко к максимальной длине очереди.

Среднее число заявок, обслуживаемых в СМО, может быть записано в виде:

В среднем все каналы СМО постоянно заняты.

Среднее число заявок, находящихся в СМО:

Для открытых СМО справедливы формулы Литтла:

Среднее время пребывания заявки с СМО:

Среднее время пребывания заявки в очереди:

7.3 Выводы о работе исследуемой СМО

Наиболее вероятное состояние данной СМО – занятость всех каналов и мест в очереди. Приблизительно половина всех поступающих заявок покидают СМО необслуженными. Приблизительно 66,5% времени ожидания приходиться на ожидание в очереди. Оба канала постоянно заняты. Все это говорит о том, что в целом данная схема СМО неудовлетворительна.

Чтобы снизить загрузку каналов, сократить время ожидания в очереди и снизить вероятность отказа необходимо увеличить число каналов и ввести систему приоритетов для заявок. Число каналов целесообразно увеличить до 4. Также необходимо сменить дисциплину обслуживания с FIFO на систему с приоритетами. Все заявки теперь будут иметь принадлежность к одному из двух приоритетных классов. Заявки I класса имеют относительный приоритет по отношению к заявкам II класса. Для расчета основных показателей этой видоизмененной СМО целесообразно применить какой-либо из методов имитационного моделирования. Была написана программа на языке VisualBasic, реализующая метод Монте-Карло.

8 Исследование видоизмененной СМО

Пользователю при работе с программой необходимо задать основные параметры СМО, такие как интенсивности потоков, количество каналов, приоритетных классов, мест в очереди (если количество мест в очереди равно нулю, то СМО с отказами), а также временной интервал модуляции и количество испытаний. Программа преобразовывает сгенерированные случайные числа по формуле (34), таким образом, пользователь получает последовательность временных интервалов , распределенных показательно. Затем отбирается заявка с минимальным , и ставится в очередь, согласно ее приоритету. За это же время происходит перерасчет очереди и каналов. Затем эта операция повторяется до окончания времени модуляции, задаваемого изначально. В теле программы присутствуют счетчики, на основании показаний которых и формируются основные показатели СМО. Если для увеличения точности было задано несколько испытаний, то в качестве конечных результатов принимается оценка за серию опытов. Программа получилась достаточно универсальной, с ее помощью могут быть исследованы СМО с любым количеством приоритетных классов, либо вообще без приоритетов. Для проверки корректности работы алгоритма, в него были введены исходные данные классической СМО, исследуемой в разделе 7. Программа смоделировала результат близкий к тому, который был получен с помощью методов теории массового обслуживания (см. приложение Б). Погрешность, возникшая в ходе имитационного моделирования, может быть объяснена тем, что проведено недостаточное количество испытаний. Результаты, полученные с помощью программы для СМО с двумя приоритетными классами и увеличенным числом каналов, показывают целесообразность этих изменений (см. приложение В). Высший приоритет был присвоен более «быстрым» заявкам, что позволяет быстро обследовать короткие задания. Сокращается средняя длина очереди в системе, а соответственно минимизируется средство для организации очереди. В качестве основного недостатка данной организации можно выделить то, что «долгие» заявки находятся в очереди длительно время или вообще получают отказ. Введенные приоритеты могут быть переназначены после оценки полезности того или иного типа заявок для СМО.

Заключение

В данной работе была исследована двухканальная СМО методами теории массового обслуживания, рассчитаны основные показатели, характеризующие ее работу. Был сделан вывод о том, что данный режим работы СМО не является оптимальным и были предложены методы, снижающие загруженность и повышающие пропускную способность системы. Для проверки этих методов была создана программа, моделирующая метод Монте-Карло, с помощью которой были подтверждены результаты вычислений для исходной модели СМО, а также рассчитаны основные показатели для видоизмененной. Погрешность алгоритма может быть оценена и снижена путем увеличения количества испытаний. Универсальность программы позволяет использовать ее при исследовании различных СМО, в том числе и классических.

1 Вентцель, Е.С. Исследование операций / Е.С. Вентцель. - М.: «Советское радио», 1972. - 552 с.

2 Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. - М.: «Высшая школа», 2003. - 479 с.

3 Лаврусь, О.Е. Теория массового обслуживания. Методические указания/ О.Е. Лаврусь, Ф.С. Миронов. - Самара: СамГАПС, 2002.- 38 с.

4 Саакян, Г.Р. Теория массового обслуживания: лекции / Г.Р. Саакян. - Шахты: ЮРГУЭС, 2006. - 27 с.

5 Авсиевич, А.В. Теория массового обслуживания. Потоки требований, системы массового обслуживания / А.В. Авсиевич, Е.Н. Авсиевич. - Самара: СамГАПС, 2004. - 24 с.

6 Черненко, В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В 3. т. Т. 3/ В.Д. Черненко. - Санкт – Петербург: Политехника, 2003. - 476 с.

7 Клейнрок, Л. Теория массового обслуживания / Л. Клейнрок. Пер.с англ./ Пер. И.И. Грушко; под ред. В.И. Нейман. - М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.

8 Олзоева, С.И. Моделирование и расчет распределенных информационных систем. Учебное пособие / С.И. Олзоева. - Улан-Удэ: ВСГТУ, 2004. - 66 с.

9 Соболь, И.М. Метод Монте-Карло / И.М. Соболь. - М.: «Наука», 1968. - 64 с.

Назначение сервиса СМО . Онлайн-калькулятор предназначен для расчета следующих показателей одноканальных СМО:

• вероятность отказа канала, вероятность свободного канала, абсолютная пропускная способность;
• относительная пропускная способность, среднее время обслуживания, среднее время простоя канала.

Инструкция . Для решения подобных задач в онлайн режиме выберите модель СМО. Укажите интенсивность потока заявок λ и интенсивность потока обслуживания μ . Для одноканальной СМО с ограниченной длиной очереди можно указать длину очереди m , а для одноканальной СМО с неограниченной очередью - число заявок в очереди (для расчета вероятности нахождения этих заявок в очереди). см. пример решения . .

Модель СМО Одноканальная СМО с отказами в обслуживании Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди Одноканальная СМО с неограниченной очередью

M =

Интенсивность потока заявок λ: заявок в час мин сутки
Интенсивность потока обслуживания μ: или t обс = час мин

Полученное решение сохраняется в файле Word .

Классификация одноканальных систем массового обслуживания

Пример №1 . Авто заправочная станция имеет одну бензоколонку. Предполагается что простейший поток автомашин поступает на станцию с интенсивностью λ=11 автомашин/ч. Время обслуживания заявки случайная величина которая подчиняется экспоненциальному закону с параметром μ=14 автомашин/ч. Определить среднее число автомашин на станции.

Пример №2 . Имеется пункт проведения профилактического осмотра машин с одной группой проведения осмотра. На осмотр и выявление дефектов каждой машины затрачивается в среднем 0,4 часа. На осмотр поступает в среднем 328 машин в сутки. Потоки заявок и обслуживаний - простейшие. Если машина, прибывшая в пункт осмотра не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт осмотра необслуженной. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания пункта профилактического осмотра.
Решение. Здесь α = 328/24 ≈ = 13.67, t = 0.4. Эти данные необходимо ввести в калькулятор.

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью l . Интенсивность потока обслуживания равна m (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать m обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.

Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием
(схема гибели и размножения)

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S 0 –­­ «канал свободен»;

S 1 ­–­­­ «канал занят» (очереди нет);

S 2 – «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);

S k – «канал занят» (k-1 заявокстоит в очереди);

S m +1 – «канал занят» (m заявок стоит в очереди).

Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:

Пользуясь уравнениями для процесса гибели и размножения получим:

(5.10)

где – приведенная интенсивность (плотность) потока;

Тогда вероятность что занят 1 канал и k-1 мест в очереди:

Следует отметить, что выполнение условия стационарности < 1 для данной СМО не обязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать m ), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением .

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной m :

вероятность отказа в обслуживании заявки;

; (5.11)

относительная пропускная способность системы:

; (5.12)

абсолютная пропускная способность:

А = ql ; (5.13)

среднее число заявок, находящихся в очереди:

; (5.14)

среднее число заявок, находящихся под обслуживанием:

(5.15)

среднее число заявок, находящихся в системе(связанных с СМО):

среднее время пребывания заявки в системе:

Т сист. = Т ож. + t об ; (5.17)

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

. (5.18)

Если имеется неограниченное число мест ожидания в очереди m , то вышеуказанные формулы справедливы только при ρ < 1, так как при ρ 1 нет установившегося режима (очередь неограниченно растет) и при q=1, A=λq=λ .

Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.

Пример. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность l = 0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.

Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.

Решение.

Интенсивность обслуживания автомобилей:

(авто/час)

Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей l и m, т. е.

Вычислим предельные вероятности системы:

Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

P отк = P 4 = r 4 ×P 0 » 0,158 .

Значит 15,8% автомобилей получат отказ в обслуживании так как не будет свободных постов и мест в очереди.

Относительная пропускная способность поста диагностики:

q = 1 - P отк = 1 - 0,158 = 0,842 .

Это означает что обслуживается в среднем 82,4% автомобилей.

Абсолютная пропускная способность поста диагностики

А = lq = 0,85 × 0,842 = 0,716 (автомобиля в час).

Среднее число автомобилей, находящихся в системе – среднее число заявок, находящихся в очереди плюс среднее число заявок, находящихся под обслуживанием:

Среднее время пребывания автомобиля в системе складывается из среднего времени ожидания в очереди и продолжительности обслуживания (если заявка принята к обслуживанию):

Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Р отк = 0,158).

Задача 1. Автозаправочная станция (АЗС) представляет собой СМО с одним каналом обслуживания (одной колонкой). Площадка при станции допускает пребывание в очереди на заправку не более трех машин одновременно (m = 6). Если в очереди уже находится 6 машин, очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает мимо. Поток машин, прибывающих для заправки, имеет интенсивность λ = 0,95 (машина в минуту). Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин. Определить:

· вероятность отказа;

· относительную и абсолютную пропускную способности СМО;

· среднее число машин, ожидающих заправки;

· среднее число машин, находящихся на АЗС (включая и обслуживаемую);

· среднее время ожидания машины в очереди;

· среднее время пребывания машины на АЗС (включая обслуживание).

· доход АЗС за 10 часов при стоимости литра бензина равной 20 руб. и среднем объеме одной заправки автомобиля равной 7,5 литров.

Задача 2. Вспомним о ситуации, рассмотренной в задаче 1, где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т. е. длина очереди не ограничена.

Требуется определить финальные значения следующих вероятностных характеристик:

· вероятности состояний системы (поста диагностики);

· среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди);

· среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе (на обслуживании и в очереди);

· среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;

· среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.

Задача 3. На железнодорожную сортировочную горку прибывают составы с интенсивностью λ = 2 (состава в час). Среднее время, в течение которого горка обрабатывает состав, равно 0,4 часа. Составы, прибывшие в момент, когда горка занята, становятся в очередь и ожидают в парке прибытия, где имеются три запасных пути, на каждом из которых может ожидать один состав. Состав, прибывший в момент, в очередь на внешний путь. Все потоки событий – простейшие. Найти:

· среднее число составов, ожидающих очереди (как в парке прибытия, так и вне его);

· среднее время ожидания состава в парке прибытия и на внешних путях;

· среднее время нахождения состава на сортировочной станции (включая ожидание и обслуживание);

· вероятность того, что прибывший состав займет место на внешних путях.

Достаточно часто при анализе экономических систем приходится решать так называемые задачи массового обслуживания, возникающие в следующей ситуации. Пусть анализируется система технического обслуживания автомобилей, состоящая из некоторого количества станций различной мощности. На каждой из станций (элемента системы) могут возникать, по крайней мере, две типичные ситуации:

1. число заявок слишком велико для данной станции, возникают очереди, и за задержки в обслуживании приходится платить;
2. на станцию поступает слишком мало заявок и теперь уже приходится учитывать потери, вызванные простоем станции.

Ясно, что цель системного анализа в данном случае заключается в определении некоторого соотношения между потерями доходов по причине очередей и потерями по причине простоя станций.

Теория массового обслуживания – специальный раздел теории систем – это раздел теории вероятности, в котором изучаются системы массового обслуживания с помощью математических моделей.

Система массового обслуживания (СМО) – это модель, включающая в себя: 1) случайный поток требований, вызовов или клиентов, нуждающихся в обслуживании; 2) алгоритм осуществления этого обслуживания; 3) каналы (приборы) для обслуживания.

Примерами СМО являются кассы, АЗС, аэропорты, продавцы, парикмахеры, врачи, телефонные станции и другие объекты, в которых осуществляется обслуживание тех или иных заявок.

Задача теории массового обслуживания состоит в выработке рекомендаций по рациональному построению СМО и рациональной организации их работы с целью обеспечения высокой эффективности обслуживания при оптимальных затратах.

Главная особенность задач данного класса – явная зависимость результатов анализ и получаемых рекомендаций от двух внешних факторов: частоты поступления и сложности заказов (а значит и времени их исполнения).

Предмет теории массового обслуживания – это установление зависимости между характером потока заявок, производительностью отдельного канала обслуживания, числом каналов и эффективностью обслуживания.

В качестве характеристик СМО рассматриваются:

• средний процент заявок, получающих отказ и покидающих систему не обслуженными;
• среднее время «простоя» отдельных каналов и системы в целом;
• среднее время ожидания в очереди;
• вероятность того, что поступившая заявка будет немедленно обслужена;
• закон распределения длины очереди и другие.

Добавим, что заявки (требования) поступают в СМО случайным образом (в случайные моменты времени), с точками сгущения и разрежения. Время обслуживания каждого требования также является случайным, после чего канал обслуживания освобождается и готов к выполнению следующего требования. Каждая СМО, в зависимости от числа каналов и их производительности, обладает некоторой пропускной способностью. Пропускная способность СМО может быть абсолютной (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени) и относительной (среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поданных).

3.1 Модели систем массового обслуживания.

Каждую СМО может характеризовать выражением: (a / b / c) : (d / e / f) , где

a - распределение входного потока заявок;

b - распределение выходного потока заявок;

c – конфигурация обслуживающего механизма;

d – дисциплина очереди;

e – блок ожидания;

f – емкость источника.

Теперь рассмотрим подробнее каждую характеристику.

Входной поток заявок – количество поступивших в систему заявок. Характеризуется интенсивностью входного потока l .

Выходной поток заявок – количество обслуженных системой заявок. Характеризуется интенсивностью выходного потока m .

Конфигурация системы подразумевает общее число каналов и узлов обслуживания. СМО может содержать:

1. один канал обслуживания (одна взлетно-посадочная полоса, один продавец);
2. один канал обслуживания, включающий несколько последовательных узлов (столовая, поликлиника, конвейер);
3. несколько однотипных каналов обслуживания, соединенных параллельно (АЗС, справочная служба, вокзал).

Таким образом, можно выделить одно- и многоканальные СМО.

С другой стороны, если все каналы обслуживания в СМО заняты, то подошедшая заявка может остаться в очереди, а может покинуть систему (например, сбербанк и телефонная станция). В этом случае мы говорим о системах с очередью (ожиданием) и о системах с отказами.

Очередь – это совокупность заявок, поступивших в систему для обслуживания и ожидающих обслуживания. Очередь характеризуется длиной очереди и ее дисциплиной.

Дисциплина очереди – это правило обслуживания заявок из очереди. К основным типам очереди можно отнести следующие:

1. ПЕРППО (первым пришел – первым обслуживаешься) – наиболее распространенный тип;
2. ПОСППО (последним пришел – первым обслуживаешься);
3. СОЗ (случайный отбор заявок) – из банка данных.
4. ПР – обслуживание с приоритетом.

Длина очереди может быть

• неограничена – тогда говорят о системе с чистым ожиданием;
• равна нулю – тогда говорят о системе с отказами;
• ограничена по длине (система смешанного типа).

Блок ожидания – «вместимость» системы – общее число заявок, находящихся в системе (в очереди и на обслуживании). Таким образом, е=с+ d .

Емкость источника , генерирующего заявки на обслуживание – это максимальное число заявок, которые могут поступить в СМО. Например, в аэропорту емкость источника ограничена количеством всех существующих самолетов, а емкость источника телефонной станции равна количеству жителей Земли, т.е. ее можно считать неограниченной.

Количество моделей СМО соответствует числу всевозможных сочетаний этих компонент.

3.2 Входной поток требований.

С каждым отрезком времени [a , a + T ], свяжем случайную величину Х , равную числу требований, поступивших в систему за время Т .

Поток требований называется стационарным , если закон распределения не зависит от начальной точки промежутка а , а зависит только от длины данного промежутка Т . Например, поток заявок на телефонную станцию в течение суток (Т =24 часа) нельзя считать стационарным, а вот с 13 до 14 часов (Т =60 минут) – можно.

Поток называется без последействия , если предыстория потока не влияет на поступления требований в будущем, т.е. требования не зависят друг от друга.

Поток называется ординарным , если за очень короткий промежуток времени в систему может поступить не более одного требования. Например, поток в парикмахерскую – ординарный, а в ЗАГС – нет. Но, если в качестве случайной величины Х рассматривать пары заявок, поступающих в ЗАГС, то такой поток будет ординарным (т.е. иногда неординарный поток можно свести к ординарному).

Поток называется простейшим , если он стационарный, без последействия и ординарный.

Основная теорема. Если поток – простейший, то с.в. Х [ a . a + T ] распределена по закону Пуассона, т.е. .

Следствие 1 . Простейший поток также называется пуассоновским.

Следствие 2 . M (X )= M (Х [ a , a + T ] )= l T , т.е. за время Т l T заявок. Следовательно, за одну единицу времени в систему поступает в среднем l заявок. Эта величина и называется интенсивностью входного потока.

Рассмотрим ПРИМЕР.

В ателье поступает в среднем 3 заявки в день. Считая поток простейшим, найти вероятность того, что в течение двух ближайших дней число заявок будет не менее 5.

Решение.

По условию задачи, l =3, Т =2 дня, входной поток пуассоновский, n ³5. при решении удобно ввести противоположное событие, состоящее в том, что за время Т поступит меньше 5 заявок. Следовательно, по формуле Пуассона, получим

^

3.3 Состояние системы. Матрица и граф переходов.

В случайный момент времени СМО переходит из одного состояния в другое: меняется число занятых каналов, число заявок и очереди и пр. Таким образом, СМО с n каналами и длиной очереди, равной m , может находиться в одном из следующих состояний:

Е 0 – все каналы свободны;

Е 1 – занят один канал;

Е n – заняты все каналы;

Е n +1 – заняты все каналы и одна заявка в очереди;

Е n + m – заняты все каналы и все места в очереди.

Аналогичная система с отказами может находиться в состояниях E 0 – E n .

Для СМО с чистым ожиданием существует бесконечное множество состояний. Таким образом, состояниеE n СМО в момент времени t – это количество n заявок (требований), находящихся в системе в данный момент времени, т.е. n = n (t ) – случайная величина, E n (t ) – исходы этой случайной величины, а P n (t ) – вероятность пребывания системы в состоянии E n .

С состоянием системы мы уже знакомы. Отметим, что не все состояния системы равнозначны. Состояние системы называется источником , если система может выйти из этого состояния, но не может в него вернуться. Состояние системы называется изолированным, если система не может выйти из этого состояния или в него войти.

Для наглядности изображения состояний системы используют схемы (так называемые графы переходов), в которых стрелки указывают возможные переходы системы из одного состояния в другое, а также вероятности таких переходов.

Рисунок 3.1 – граф переходов

Сост.	Е 0	Е 1	Е 2
Е 0	Р 0,0	Р 0,1	Р 0,2
Е 1	Р 1,0	Р 1,1	Р 1,2
Е 2	Р 2,0	Р 2,2	Р 2,2

Также иногда удобно воспользоваться матрицей переходов. При этом первый столбец означает исходные состояния системы (текущие), а далее приведены вероятности перехода из этих состояний в другие.

Так как система обязательно перейдет из одного

состояния в другое, то сумма вероятностей в каждой строке всегда равна единице.

3.4 Одноканальные СМО.

3.4.1 Одноканальные СМО с отказами.

Будем рассматривать системы, удовлетворяющие требованиям:

(Р/Е/1):(–/1/¥) . Предположим также, что время обслуживания требования не зависит от количества требований, поступивших в систему. Здесь и далее «Р» означает, что входной поток распределен по закону Пуассона, т.е. простейший, «Е» означает, что выходной поток распределен по экспоненциальному закону. Также здесь и далее основные формулы даются без доказательства.

Для такой системы возможно два состояния: Е 0 – система свободна и Е 1 – система занята. Составим матрицу переходов. Возьмем D t – бесконечно малый промежуток времени. Пусть событие А состоит в том, что в систему за время D t поступило одно требование. Событие В состоит в том, что за время D t обслужено одно требование. Событие А i , k – за время D t система перейдет из состояния E i в состояние E k . Так как l – интенсивность входного потока, то за время D t в систему в среднем поступает l*D t требований. То есть, вероятность поступления одного требования Р(А)= l* D t , а вероятность противоположного событияР(Ā)=1- l*D t . Р(В)= F (D t )= P (b < D t )=1- e - m D t = m D t – вероятность обслуживания заявки за время D t . Тогда А 00 – заявка не поступит или поступит, но будет обслужена. А 00 =Ā+А* В. Р 00 =1- l*D t . (мы учли, что(D t ) 2 – бесконечно малая величина)

А 01 – заявка поступит, но не будет обслужена. А 01 =А* . Р 01 = l*D t .

А 10 – заявка будет обслужена и новой не будет. А 10 =В* Ā. Р 10 = m*D t .

А 11 – заявка не будет обслужена или поступит новая, которая еще не обслужена. А 11 =+В* А. Р 01 =1- m*D t .

Таким образом, получим матрицу переходов:

Сост.	Е 0	Е 1
Е 0	1-l* Dt	l* Dt
Е 1	m* Dt	1-m* Dt

Вероятность простоя и отказа системы.

Найдем теперь вероятность нахождения системы в состоянии Е 0 в любой момент времени t (т.е. р 0 ( t ) ). График функции
изображен на рисунке 3.2.

Асимптотой графика является прямая
.

Очевидно, начиная с некоторого момента t ,

1

Рисунок 3.2

Окончательно получим, что
и
, где р 1 (t ) – вероятность того, что в момент времени t система занята (т.е. находится в состоянии Е 1 ).

Очевидно, что в начале работы СМО протекающий процесс не будет стационарным: это будет «переходный», нестационарный режим. Спустя некоторое время (которое зависит от интенсивностей входного и выходного потока) этот процесс затухнет и система перейдет в стационарный, установившийся режим работы, и вероятностные характеристики уже не будут зависеть от времени.

Стационарный режим работы и коэффициент загрузки системы.

Если вероятность нахождения системы в состоянии Е k , т.е. Р k (t ), не зависит от времени t , то говорят, что в СМО установился стационарный режим работы. При этом величина
называется коэффициентом загрузки системы (или приведенной плотностью потока заявок). Тогда для вероятностейр 0 (t ) ир 1 (t ) получаем следующие формулы:
,
. Можно также сделать вывод:чем больше коэффициент загрузки системы, тем больше вероятность отказа системы (т.е. вероятность того, что система занята).

На автомойке один блок для обслуживания. Автомобили прибывают по пуассоновскому распределению с интенсивностью 5 авто/час. Среднее время обслуживания одной машины – 10 минут. Найти вероятность того, что подъехавший автомобиль найдет систему занятой, если СМО работает в стационарном режиме.

Решение. По условию задачи, l =5, m y =5/6. Надо найти вероятность р 1 – вероятность отказа системы.
.

3.4.2 Одноканальные СМО с неограниченной длиной очереди.

Будем рассматривать системы, удовлетворяющие требованиям: (Р/Е/1):(d/¥/¥). Система может находиться в одном из состояний E 0 , …, E k , … Анализ показывает, что через некоторое время такая система начинает работать в стационарном режиме, если интенсивность выходного потока превышает интенсивность входного потока (т.е. коэффициент загрузки системы меньше единицы). Учитывая это условие, получим систему уравнений

решая которую найдем, что . Таким образом, при условии, что y <1, получим
Окончательно,
и
– вероятность нахождения СМО в состоянии Е k в случайный момент времени.

Средние характеристики системы.

За счет неравномерного поступления требований в систему и колебания времени обслуживания, в системе образуется очередь. Для такой системы можно исследовать:

• n – количество требований, находящихся в СМО (в очереди и на обслуживании);
• v – длину очереди;
• w – время ожидания начала обслуживания;
• w 0 – общее время нахождения в системе.

Нас будут интересовать средние характеристики (т.е. берем математическое ожидание от рассматриваемых случайных величин, и помним, что y <1).

– среднее число заявок в системе.

– средняя длина очереди.

– среднее время ожидания начала обслуживания, т.е. время ожидания в очереди.

– среднее время, которое заявка проводит в системе – в очереди и на обслуживании.

На автомойке один блок для обслуживания и есть место для очереди. Автомобили прибывают по пуассоновскому распределению с интенсивностью 5 авто/час. Среднее время обслуживания одной машины – 10 минут. Найти все средние характеристики СМО.

Решение. l =5, m =60мин/10мин = 6. Коэффициент загрузки y =5/6. Тогда среднее число автомобилей в системе
, средняя длина очереди
, среднее время ожидания начала обслуживания
часа = 50 мин, и, наконец, среднее время нахождения в системе
час.

3.4.3 Одноканальные СМО смешанного типа.

Предположим, что длина очереди составляет m требований. Тогда, для любого s £ m , вероятность нахождения СМО в состоянии Е 1+ s , вычисляется по формуле
, т.е. одна заявка обслуживается и еще s заявок – в очереди.

Вероятность простоя системы равна
,

а вероятность отказа системы -
.

Даны три одноканальные системы, для каждой l =5, m =6. Но первая система – с отказами, вторая – с чистым ожиданием, а третья – с ограниченной длиной очереди, m =2. Найти и сравнить вероятности простоя этих трех систем.

Решение. Для всех систем коэффициент загрузки y =5/6. Для системы с отказами
. Для системы с чистым ожиданием
. Для системы с ограниченной длиной очереди
. Вывод очевиден: чем больше заявок находится в очереди, тем меньше вероятность простоя системы.

3.5 Многоканальные СМО.

3.5.1 Многоканальные СМО с отказами.

Будем рассматривать системы (Р/Е/s):(-/s/¥) в предположении, что время обслуживания не зависит от входного потока и все линии работают независимо. Многоканальные системы, помимо коэффициента загрузки, можно также характеризовать коэффициентом
, где s – число каналов обслуживания. Исследуя многоканальные СМО, получим следующие формулы (формулы Эрлáнга ) для вероятности нахождения системы в состоянии Е k в случайный момент времени:

, k=0, 1, …

Функция стоимости.

Как и для одноканальных систем, увеличение коэффициента загрузки ведет к увеличению вероятности отказа системы. С другой стороны, увеличение количества линий обслуживания ведет к увеличению вероятности простоя системы или отдельных каналов. Таким образом, необходимо найти оптимальное количество каналов обслуживания данной СМО. Среднее число свободных линий обслуживания можно найти по формуле
. Введем С(s ) – функцию стоимости СМО, зависящую от с 1 – стоимости одного отказа (штрафа за невыполненную заявку) и от с 2 – стоимости простоя одной линии за единицу времени.

Для поиска оптимального варианта надо найти (и это можно сделать) минимальное значение функции стоимости: С(s ) = с 1* l * p s +с 2* , график которой представлен на рисунке 3.3:

Рисунок 3.3

Поиск минимального значения функции стоимости состоит в том, что мы находим ее значения сначала дляs =1, затем для s =2, потом для s =3, и т.д. до тех пор, пока на каком-то шаге значение функции С(s ) не станет больше предыдущего. Это и означает, что функция достигла своего минимума и начала расти. Ответом будет то число каналов обслуживания (значение s ), для которого функция стоимости минимальна.

ПРИМЕР.

Сколько линий обслуживания должна содержать СМО с отказами, если l =2треб/час, m =1треб/час, штраф за каждый отказ составляет 7 тыс.руб., стоимость простоя одной линии – 2 тыс.руб. в час?

Решение. y = 2/1=2. с 1 =7, с 2 =2.

Предположим, что СМО имеет два канала обслуживания, т.е. s =2. Тогда
. Следовательно, С(2) = с 1 *l* p 2 +с 2 *(2- y* (1-р 2 )) = =7*2*0.4+2*(2-2*0.6)=7.2.

Предположим, что s =3. Тогда
, С(3) = с 1 *l* p 3 +с 2 *
=5.79.

Предположим, что имеется четыре канала, т.е. s =4. Тогда
,
, С(4) = с 1 *l* p 4 +с 2 *
=5.71.

Предположим, что СМО имеет пять каналов обслуживания, т.е. s =5. Тогда
, С(5) = 6.7 – больше предыдущего значения. Следовательно, оптимальное число каналов обслуживания – четыре.

3.5.2 Многоканальные СМО с очередью.

Будем рассматривать системы (Р/Е/s):(d/d+s/¥) в предположении, что время обслуживания не зависит от входного потока и все линии работают независимо. Будем говорить, что в системе установилсястационарный режим работы , если среднее число поступающих требований меньше среднего числа требований, обслуженных на всех линиях системы, т.е. l

P(w>0) – вероятность ожидания начала обслуживания,
.

Последняя характеристика позволяет решать задачу об определении оптимального числа каналов обслуживания с таким расчетом, чтобы вероятность ожидания начала обслуживания была меньше заданного числа. Для этого достаточно просчитать вероятность ожидания последовательно при s =1, s =2, s =3 и т.д.

ПРИМЕР.

СМО – станция скорой помощи небольшого микрорайона. l =3 вызова в час, а m = 4 вызова в час для одной бригады. Сколько бригад необходимо иметь на станции, чтобы вероятность ожидания выезда была меньше 0.01?

Решение. Коэффициент загрузки системы y =0.75. Предположим, что в наличие имеется две бригады. Найдем вероятность ожидания начала обслуживания при s =2.
,
.

Предположим наличие трех бригад, т.е. s =3. По формулам получим, что р 0 =8/17, Р(w >0)=0.04>0.01 .

Предположим, что на станции четыре бригады, т.е. s =4. Тогда получим, что р 0 =416/881, Р(w >0)=0.0077<0.01 . Следовательно, на станции должно быть четыре бригады.

3.6 Вопросы для самоконтроля

1. Предмет и задачи теории массового обслуживания.
2. СМО, их модели и обозначения.
3. Входной поток требований. Интенсивность входного потока.
4. Состояние системы. Матрица и граф переходов.
5. Одноканальные СМО с отказами.
6. Одноканальные СМО с очередью. Характеристики.
7. Стационарный режим работы. Коэффициент загрузки системы.
8. Многоканальные СМО с отказами.
9. Оптимизация функции стоимости.
10. Многоканальные СМО с очередью. Характеристики.

3.7 Упражнения для самостоятельной работы

1. Закусочная на АЗС имеет один прилавок. Автомобили прибывают в соответствии с пуассоновским распределением, в среднем 2 автомобиля за 5 минут. Для выполнения заказа в среднем достаточно 1.5 минуты, хотя продолжительность обслуживания распределена по экспоненциальному закону. Найти: а) вероятность простоя прилавка; b) средние характеристики; c) вероятность того, что количество прибывших автомобилей будет не менее 10.
2. Рентгеновский аппарат позволяет обследовать в среднем 7 человек в час. Интенсивность посетителей составляет 5 человек в час. Предполагая стационарный режим работы, определить средние характеристики.
3. Время обслуживания в СМО подчиняется экспоненциальному закону,
   m = 7требований в час. Найти вероятность того, что а) время обслуживания находится в интервале от 3 до 30 минут; b) требование будет обслужено в течение одного часа. Воспользоваться таблицей значений функции е х .
4. В речном порту один причал, интенсивность входного потока – 5 судов в день. Интенсивность погрузочно-разгрузочных работ – 6 судов в день. Имея в виду стационарный режим работы, определить все средние характеристики системы.
5. l =3, m =2, штраф за каждый отказ равен 5, а стоимость простоя одной линии равна 2?
6. Какое оптимальное число каналов обслуживания должна иметь СМО, если l =3, m =1, штраф за каждый отказ равен 7, а стоимость простоя одной линии равна 3?
7. Какое оптимальное число каналов обслуживания должна иметь СМО, если l =4, m =2, штраф за каждый отказ равен 5, а стоимость простоя одной линии равна 1?
8. Определить число взлетно-посадочных полос для самолетов с учетом требования, что вероятность ожидания должна быть меньше, чем 0.05. При этом интенсивность входного потока 27 самолетов в сутки, а интенсивность их обслуживания – 30 самолетов в сутки.
9. Сколько равноценных независимых конвейерных линий должен иметь цех, чтобы обеспечить ритм работы, при котором вероятность ожидания обработки изделий должна быть меньше 0.03 (каждое изделие выпускается одной линией). Известно, что интенсивность поступления заказов 30 изделий в час, а интенсивность обработки изделия одной линией – 36 изделий в час.
10. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону с параметром l=5. Найти функцию распределения, характеристики и вероятность попадания с.в. Х в интервал от 0.17 до 0.28.
11. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за одну минуту, равно 3. Считая поток пуассоновским, найти вероятность того, что за 2 минуты поступит: а) два вызова; б) меньше двух вызовов; в) не менее двух вызовов.
12. В ящике 17 деталей, из которых 4 – бракованные. Сборщик наугад извлекает 5 деталей. Найти вероятность того, что а) все извлеченные детали – качественные; б) среди извлеченных деталей 3 бракованных.
13. Сколько каналов должна иметь СМО с отказами, если l =2треб/час, m =1треб/час, штраф за каждый отказ составляет 8т.руб., стоимость простоя одной линии – 2т.руб. в час?

Примеры решения задач систем массового обслуживания

Требуется решить задачи 1–3. Исходные данные приведены в табл. 2–4.

Некоторые обозначения, применяемые в теории массового обслуживания, для формул:

n – число каналов в СМО;

λ – интенсивность входящего потока заявок П вх;

v – интенсивность выходящего потока заявок П вых;

μ – интенсивность потока обслуживания П об;

ρ – показатель нагрузки системы (трафик);

m – максимальное число мест в очереди, ограничивающее длину очереди заявок;

i – число источников заявок;

p к – вероятность k-го состояния системы;

p о – вероятность простаивания всей системы, т. е. вероятность того, что все каналы свободны;

p сист – вероятность принятия заявки в систему;

p отк – вероятность отказа заявке в принятии ее в систему;

р об – вероятность того, что заявка будет обслужена;

А – абсолютная пропускная способность системы;

Q – относительная пропускная способность системы;

Оч – среднее число заявок в очереди;

Об – среднее число заявок под обслуживанием;

Сист – среднее число заявок в системе;

Оч – среднее время ожидания заявки в очереди;

Об – среднее время обслуживания заявки, относящееся только к обслуженным заявкам;

Сис – среднее время пребывания заявки в системе;

Ож – среднее время, ограничивающее ожидание заявки в очереди;

– среднее число занятых каналов.

Абсолютная пропускная способность СМО А – среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени.

Относительная пропускная способность СМО Q – отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок.

При решении задач массового обслуживания необходимо придерживаться нижеприведенной последовательности:

1) определение типа СМО по табл. 4.1;

2) выбор формул в соответствии с типом СМО;

3) решение задачи;

4) формулирование выводов по задаче.

1.Схема гибели и размножения. Мы знаем, что, имея в распоряжении размеченный граф состояний, можно легко написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний, а также написать и решить алгебраические уравнения для финальных вероятностей. Для некоторых случаев удается последние уравнения

решить заранее, в буквенном виде. В частности, это удается сделать, если граф состояний системы представляет собой так называемую «схему гибели и размножения».

Граф состояний для схемы гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 19.1. Особенность этого графа в том, что все состояния системы можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S 1 , S 2 ,…,S n-1) связано прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних состояний - правым и левым, а крайние состояния (S 0 , S n) - только с одним соседним состоянием. Термин «схема гибели и размножения» ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяции.

Схема гибели и размножения очень часто встречается в разных задачах практики, в частности - в теории массового обслуживания, поэтому полезно, один раз и навсегда, найти для нее финальные вероятности состояний.

Предположим, что все потоки событии, переводящие систему по стрелкам графа,- простейшие (для краткости будем называть и систему S и протекающий в ней процесс - простейшими).

Пользуясь графом рис. 19.1, составим и решим алгебраические уравнения для финальных вероятностей состоянии), существование вытекает из того, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое, в число состояний конечно). Для первого состояния S 0 имеем:

(19.1)

Для второго состояния S 1:

В силу (19.1) последнее равенство приводится к виду

где k принимает все значения от 0 до п. Итак, финальные вероятности p 0 , p 1 , ..., р n удовлетворяют уравнениям

(19.2)

кроме того, надо учесть нормировочное условие

p 0 + p 1 + p 2 +…+ p n =1. (19.3)

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения (19.2)выразим p 1 через р 0 :

p 1 = p 0. (19.4)

Из второго, с учетом (19.4), получим:

(19.5)

Из третьего, с учетом (19.5),

(19.6)

и вообще, для любого k (от 1 до n ):

(19.7)

Обратим внимание на формулу (19.7). В числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (с начала и до данного состояния S k), а в знаменателе - произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево (с начала и до S k).

Таким образом, все вероятности состояний р 0 , p 1 , ..., р n выражены через одну из них (р 0). Подставим эти выражения в нормировочное условие (19.3). Получим, вынося за скобку р 0:

отсюда получим выражение для р 0 :

(скобку мы возвели в степень -1, чтобы не писать двухэтажных дробей). Все остальные вероятности выражены через р 0 (см. формулы (19.4) - (19.7)). Заметим, что коэффициенты при р 0 в каждой из них представляют собой не что иное, как последовательные члены ряда, стоящего после единицы в формуле (19.8). Значит, вычисляя р 0 , мы уже нашли все эти коэффициенты.

Полученные формулы очень полезны при решении простейших задач теории массового обслуживания.

^ 2. Формула Литтла. Теперь мы выведем одну важную формулу, связывающую (для предельного, стационарного режима) среднее число заявок L сист, находящихся в системе массового обслуживания (т. е. обслуживаемых или стоящих в очереди), и среднее время пребывания заявки в системе W сист.

Рассмотрим любую СМО (одноканальную, многоканальную, марковскую, немарковскую, с неограниченной или с ограниченной очередью) и связанные с нею два потока событий: поток заявок, прибывающих в СМО, и поток заявок, покидающих СМО. Если в системе установился предельный, стационарный режим, то среднее число заявок, прибывающих в СМО за единицу времени, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока имеют одну и ту же интенсивность λ.

Обозначим: X(t} - число заявок, прибывших в СМО до момента t. Y (t ) - число заявок покинувших СМО

до момента t. И та, и другая функции являются случайными и меняются скачком (увеличиваются на единицу) в моменты приходов заявок (X (t )) и уходов заявок (Y(t)). Вид функций X(t) и Y(t) показан на рис. 19.2; обе линии - ступенчатые, верхняя - X(t), нижняя-Y(t). Очевидно, что для любого момента t их разность Z (t ) = X(t) - Y(t) есть не что иное, как число заявок, находящихся в СМО. Когда линии X(t) и Y(t) сливаются, в системе нет заявок.

Рассмотрим очень большой промежуток времени Т (мысленно продолжив график далеко за пределы чертежа) и вычислим для него среднее число заявок, находящихся в СМО. Оно будет равно интегралу от функции Z(t) на этом промежутке, деленному на длину интервала Т:

L сист. = . (19.9) о

Но этот интеграл представляет собой не что иное, как площадь фигуры, заштрихованной на рис. 19.2. Разглядим хорошенько этот рисунок. Фигура состоит из прямоугольников, каждый из которых имеет высоту, равную единице, и основание, равное времени пребывания в системе соответствующей заявки (первой, второй и т. д.). Обозначим эти времена t 1 , t 2 ,... Правда, под конец промежутка Т некоторые прямоугольники войдут в заштрихованную фигуру не полностью, а частично, но при достаточно большом Т эти мелочи не будут играть роли. Таким образом, можно считать, что

(19.10)

где сумма распространяется на все заявки, пришедшие за время Т.

Разделим правую и левую часть (.19.10) на длину интервала Т. Получим, с учетом (19.9),

L сист. = . (19.11)

Разделим и умножим правую часть (19.11) на интенсивность X:

L сист. = .

Но величина Тλ есть не что иное, как среднее число заявок, пришедших за время ^ Т. Если мы разделим сумму всех времен t i на среднее число заявок, то получим среднее время пребывания заявки в системе W сист. Итак,

L сист. = λW сист. ,

W сист. = . (19.12)

Это и есть замечательная формула Литтла: для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.

Точно таким же образом выводится вторая формула Литтла, связывающая среднее время пребывания заявки в очереди ^ W оч и среднее число заявок в очереди L оч:

W оч = . (19.13)

Для вывода достаточно вместо нижней линии на рис. 19.2 взять функцию U(t) - количество заявок, ушедших до момента t не из системы, а из очереди (если заявка, пришедшая в систему, не становится в очередь, а сразу идет под обслуживание, можно все же считать, что она становится в очередь, но находится в ней нулевое время).

Формулы Литтла (19.12) и (19.13) играют большую роль в теории массового обслуживания. К сожалению, в большинстве существующих руководств эти формулы (доказанные в общем виде сравнительно недавно) не приводятся 1).

§ 20. Простейшие системы массового обслуживания и их характеристики

В этом параграфе мы рассмотрим, некоторые простейшие СМО и выведем выражения для их характеристик (показателей эффективности). При этом мы продемонстрируем основные методические приемы, характерные для элементарной, «марковской» теории массового обслуживания. Мы не будем гнаться за количеством образцов СМО, для которых будут выведены конечные выражения характеристик; данная книга - не справочник по теории массового обслуживания (такую роль гораздо лучше выполняют специальные руководства). Наша цель - познакомить читателя с некоторыми «маленькими хитростями», облегчающими путь сквозь теорию массового обслуживания, которая в ряде имеющихся (даже претендующих на популярность) книг может показаться бессвязным набором примеров.

Все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, в данном параграфе мы будем считать простейшими (не оговаривая это каждый раз специально). В их числе будет и так называемый «поток обслуживании». Под ним разумеется поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. В этом потоке интервал между событиями, как и всегда в простейшем потоке, имеет показательное распределение (во многих руководствах вместо этого говорят: «время обслуживания - показательное», мы и сами в дальнейшем будем пользоваться таким термином).

1) В популярной книжке дан несколько иной, по сравнению с вышеизложенным, вывод формулы Литтла. Вообще, знакомство с этой книжкой («Беседа вторая») полезно для первоначального ознакомления с теорией массового обслуживания.

В данном параграфе показательное распределение времени обслуживания будет само собой разуметься, как всегда для «простейшей» системы.

Характеристики эффективности рассматриваемых СМО мы будем вводить по ходу изложения.

^ 1. п -канальная СМО с отказами (задача Эрланга). Здесь мы рассмотрим одну из первых по времени, «классических» задач теории массового обслуживания;

эта задача возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале нашего века датским математиком Эрлантом. Задача ставится так: имеется п каналов (линий связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживании имеет интенсивность μ (величина, обратная среднему времени обслуживания t об). Найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:

^ А - абсолютную пропускную способность, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Q - относительную пропускную способность, т. е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

^ Р отк - вероятность отказа, т. е. того, что заявка покинет СМО не обслуженной;

k - среднее число занятых каналов.

Решение. Состояния системы ^ S (СМО) будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе (в данном случае оно совпадает с числом занятых каналов):

S 0 - в СМО нет ни одной заявки,

S 1 - в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны),

S k - в СМО находится k заявок (k каналов заняты, остальные свободны),

S n - в СМО находится п заявок (все n каналов заняты).

Граф состояний СМО соответствует схеме гибели в размножения (рис. 20.1). Разметим этот граф - проставим у стрелок интенсивности потоков событий. Из S 0 в S 1 систему переводит поток заявок с интенсивностью λ (как только приходит заявка, система перескакивает из S 0 в S 1). Тот же поток заявок переводит

Систему из любого левого состояния в соседнее правое (см. верхние стрелки на рис. 20.1).

Проставим интенсивности у нижних стрелок. Пусть система находится в состоянии ^ S 1 (работает один канал). Он производит μ обслуживании в единицу времени. Проставляем у стрелки S 1 → S 0 интенсивность μ. Теперь представим себе, что система находится в состоянии S 2 (работают два канала). Чтобы ей перейти в S 1 , нужно, чтобы либо закончил обслуживание первый канал, либо второй; суммарная интенсивность их потоков обслуживании равна 2μ; проставляем ее у соответствующей стрелки. Суммарный поток обслуживании, даваемый тремя каналами, имеет интенсивность 3μ, k каналами - kμ. Проставляем эти интенсивности у нижних стрелок на рис. 20.1.

А теперь, зная все интенсивности, воспользуемся уже готовыми формулами (19.7), (19.8) для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения. По формуле (19.8) получим:

Члены разложения будут представлять собой коэффициенты при р 0 в выражениях для p 1

Заметим, что в формулы (20.1), (20.2) интенсивности λ и μ входят не по отдельности, а только в виде отношения λ/μ. Обозначим

λ/μ = ρ (20.3)

И будем называть величину р «приведенной интенсивностью потока заявок». Ее смысл-среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Пользуясь этим обозначением, перепишем формулы (20.1), (20.2) в виде:

Формулы (20.4), (20.5) для финальных вероятностей состояний называются формулами Эрланга - в честь основателя теории массового обслуживания. Большинство других формул этой теории (сегодня их больше, чем грибов в лесу) не носит никаких специальных имен.

Таким образом, финальные вероятности найдены. По ним мы вычислим характеристики эффективности СМО. Сначала найдем ^ Р отк . - вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ (не будет обслужена). Для этого нужно, чтобы все п каналов были заняты, значит,

Р отк = р n = . (20.6)

Отсюда находим относительную пропускную способность - вероятность того, что заявка будет обслужена:

Q = 1 – P отк. = 1 - (20.7)

Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок λ, на Q:

A = λQ = λ . (20.8)

Осталось только найти среднее число занятых каналов k. Эту величину можно было бы найти «впрямую», как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными значениями 0, 1, ..., п и вероятностями этих значений р 0 р 1 , ..., р n:

k = 0 · р 0 + 1 · p 1 + 2 · р 2 + ... + п · р n .

Подставляя сюда выражения (20.5) для р k , (k = 0, 1, ..., п) и выполняя соответствующие преобразования, мы, в конце концов, получили бы верную формулу для k. Но мы выведем ее гораздо проще (вот она, одна из «маленьких хитростей»!) В самом деле, нам известна абсолютная пропускная способность А. Это - не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок. Каждый занятый i .шал в единицу времени обслуживает в среднем |л заявок. Значит, среднее число занятых каналов равно

k = A/μ, (20.9)

или, учитывая (20.8),

k = (20.10)

Рекомендуем читателю самостоятельно решить пример. Имеется станция связи с тремя каналами (n = 3), интенсивность потока заявок λ = 1,5 (заявки в минуту); среднее время обслуживания одной заявки t об = 2 (мин.), все потоки событий (как и во всем этом параграфе) - простейшие. Найти финальные вероятности состояний и характеристики эффективности СМО: А, Q, P отк, k. На всякий случай сообщаем ответы: p 0 = 1/13, p 1 = 3/13, p 2 = 9/26, р 3 = 9/26 ≈ 0,346,

А ≈ 0,981, Q ≈ 0,654, P отк ≈ 0,346, k ≈ 1,96.

Из ответов видно, между прочим, что наша СМО в значительной мере перегружена: из трех каналов занято в среднем около двух, а из поступающих заявок около 35% остаются не обслуженными. Предлагаем читателю, если он любопытен и неленив, выяснить: сколько потребуется каналов для того, чтобы удовлетворить не менее 80% поступающих заявок? И какая доля каналов при этом будет простаивать?

Тут уже проглядывает некоторый намек на оптимизацию. В самом деле, содержание каждого канала в единицу времени обходится в какую-то сумму. Вместе с тем, каждая обслуженная заявка приносит какой-то доход. Умножая этот доход на среднее число заявок А, обслуживаемых в единицу времени, мы получим средний доход от СМО в единицу времени. Естественно, при увеличении числа каналов этот доход растет, но растут и расходы, связанные с содержанием каналов. Что перевесит - увеличение доходов или расходов? Это зависит от условий операции, от «платы за обслуживание заявки» и от стоимости содержания канала. Зная эти величины, можно найти оптимальное число каналов, наиболее эффективное экономически. Мы такой задачи решать не будем, предоставляя все тому же «неленивому и любопытному читателю» придумать пример и решить. Вообще, придумывание задач больше развивает, чем решение уже поставленных кем-то.

^ 2. Одноканальная СМО с неограниченной очередью. На практике довольно часто встречаются одноканальные СМО с очередью (врач, обслуживающий пациентов; телефон-автомат с одной будкой; ЭВМ, выполняющая заказы пользователей). В теории массового обслуживания одноканальные СМО с очередью также занимают особое место (именно к таким СМО относится большинство полученных до сих пор аналитических формул для немарковских систем). Поэтому мы уделим одноканальной СМО с очередью особое внимание.

Пусть имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложено никаких ограничений (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). На эту СМО поступает поток заявок с интенсивностью λ; поток обслуживании имеет интенсивность μ, обратную среднему времени обслуживания заявки t об. Требуется найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:

L сист. - среднее число заявок в системе,

W сист. - среднее время пребывания заявки в системе,

^ L оч - среднее число заявок в очереди,

W оч - среднее время пребывания заявки в очереди,

P зан - вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Что касается абсолютной пропускной способности А и относительной Q, то вычислять их нет надобности:

в силу того, что очередь неограниченна, каждая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому А = λ, по той же причине Q = 1.

Решение. Состояния системы, как и раньше, будем нумеровать по числу заявок, находящихся в СМО:

S 0 - канал свободен,

S 1 - канал занят (обслуживает заявку), очереди нет,

S 2 - канал занят, одна заявка стоит в очереди,

S k - канал занят, k - 1 заявок стоят в очереди,

Теоретически число состояний ничем не ограничено (бесконечно). Граф состоянии имеет вид, показанный на рис. 20.2. Это - схема гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. По всем стрелкам поток заявок с интенсивностью λ переводит систему слева направо, а справа налево - поток обслуживании с интенсивностью μ.

Прежде всего спросим себя, а существуют ли в этом случае финальные вероятности? Ведь число состояний системы бесконечно, и, в принципе, при t → ∞ очередь может неограниченно возрастать! Да, так оно и есть: финальные вероятности для такой СМО существуют не всегда, а только когда система не перегружена. Можно доказать, что если ρ строго меньше единицы (ρ< 1), то финальные вероятности существуют, а при ρ ≥ 1 очередь при t → ∞ растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при ρ = 1. Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так. При ρ = 1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживании стать хотя бы чуточку случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!

Но вернемся к нашей одноканальной СМО с неограниченной очередью. Строго говоря, формулы для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения выводились нами только для случая конечного числа состояний, но позволим себе вольность - воспользуемся ими и для бесконечного числа состояний. Подсчитаем финальные вероятности состояний по формулам (19.8), (19.7). В нашем случае число слагаемых в формуле (19.8) будет бесконечным. Получим выражение для р 0:

p 0 = -1 =

= (1 + р + р 2 + ... + р k +… .) -1 . (20.11)

Ряд в формуле (20.11) представляет собой геометрическую прогрессию. Мы знаем, что при ρ < 1 ряд сходится - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем р. При р ≥ 1 ряд расходится (что является косвенным, хотя и не строгим доказательством того, что финальные вероятности состояний р 0 , p 1 , ..., p k , ... существуют только при р<1). Теперь предположим, что это условие выполнено, и ρ <1. Суммируя прогрессию в (20.11), имеем

1 + ρ + ρ 2 + ... + ρ k + ... = ,

p 0 = 1 - ρ. (20.12)

Вероятности р 1 , р 2 , ..., р k , ... найдутся по формулам:

p 1 = ρp 0 , p 2 = ρ 2 p 0 ,…,p k = ρp 0 , ...,

Откуда, с учетом (20.12), найдем окончательно:

p 1 = ρ (1 - ρ), p 2 = ρ 2 (1 - ρ), . . . , p k = ρ k (1 - ρ), . . .(20.13)

Как видно, вероятности p 0 , p 1 , ..., p k , ... образуют геометрическую прогрессию со знаменателем р. Как это ни странно, максимальная из них р 0 - вероятность того, что канал будет вообще свободен. Как бы ни была нагружена система с очередью, если только она вообще справляется с потоком заявок (ρ<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Найдем среднее число заявок в СМО ^ L сист . . Тут придется немного повозиться. Случайная величина Z - число заявок в системе - имеет возможные значения 0, 1, 2, .... k, ... с вероятностями p 0 , р 1 , р 2 , ..., p k , ... Ее математическое ожидание равно

L сист = 0 · p 0 + 1 · p 1 + 2 · p 2 +…+k · p k +…= (20.14)

(сумма берется не от 0 до ∞, а от 1 до ∞, так как нулевой член равен нулю).

Подставим в формулу (20.14) выражение для p k (20.13):

L сист. =

Теперь вынесем за знак суммы ρ (1-ρ):

L сист. = ρ (1-ρ)

Тут мы опять применим «маленькую хитрость»: k ρ k -1 есть не что иное, как производная по ρ от выражения ρ k ; значит,

L сист. = ρ (1-ρ)

Меняя местами операции дифференцирования п суммирования, получим:

L сист. = ρ (1-ρ) (20.15)

Но сумма в формуле (20.15) есть не что иное, как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом ρ и знаменателем ρ; эта сумма

равна , а ее производная .Подставляя это выражение в (20.15), получим:

L сист = . (20.16)

Ну, а теперь применим формулу Литтла (19.12) и найдем среднее время пребывания заявки в системе:

W сист = (20.17)

Найдем среднее число заявок в очереди L оч. Будем рассуждать так: число заявок в очереди равно числу заявок в системе минус число заявок, находящихся под обслуживанием. Значит (по правилу сложения математических ожиданий), среднее число заявок в очереди L оч равно среднему числу заявок в системе L сист минус среднее число заявок под обслуживанием. Число заявок под обслуживанием может быть либо нулем (если канал свободен), либо единицей (если он занят). Математическое ожидание такой случайной величины равно вероятности того, что канал занят (мы ее обозначили Р зан). Очевидно, Р зан равно единице минус вероятность р 0 того, что канал свободен:

Р зан = 1 - р 0 = ρ. (20.18)

Следовательно, среднее число заявок под обслуживанием равно

^ L об = ρ, (20.19)

L оч = L сист – ρ =

и окончательно

L оч = (20.20)

По формуле Литтла (19.13) найдем среднее время пребывания заявки в очереди:

(20.21)

Таким образом, все характеристики эффективности СМО найдены.

Предложим читателю самостоятельно решить пример: одноканальная СМО представляет собой железнодорожную сортировочную станцию, на которую поступает простейший поток составов с интенсивностью λ = 2 (состава в час). Обслуживание (расформирование)

состава длится случайное (показательное) время со средним значением t об = 20 (мин.). В парке прибытия станции имеются два пути, на которых могут ожидать обслуживания прибывающие составы; если оба пути заняты, составы вынуждены ждать на внешних путях. Требуется найти (для предельного, стационарного режима работы станции): среднее, число составов l сист, связанных со станцией, среднее время W сист пребывания состава при станции (на внутренних путях, на внешних путях и под обслуживанием), среднее число L оч составов, ожидающих очереди на расформирование (все равно, на каких путях), среднее время W оч пребывания состава на очереди. Кроме того, попытайтесь найти среднее число составов, ожидающих расформирования на внешних путях L внеш и среднее время этого ожидания W внеш (две последние величины связаны формулой Литтла). Наконец, найдите суммарный суточный штраф Ш, который придется заплатить станции за простои составов на внешних путях, если за один час простоя одного состава станция платит штраф а (руб.). На всякий случай сообщаем ответы: L сист. = 2 (состава), W сист. = 1 (час), L оч = 4/3 (состава), W оч = 2/3 (часа), L внеш = 16/27 (состава), W внеш = 8/27 ≈ 0,297 (часа). Средний суточный штраф Ш за ожидание составов на внешних путях получим, перемножая среднее число составов, прибывающих на станцию за сутки, среднее время ожидания состава на внешних путях и часовой штраф а : Ш ≈ 14,2а .

^ 3. re-канальная СМО с неограниченной очередью. Совершенно аналогично задаче 2, но чуточку более сложно, решается задача об n -канальной СМО с неограниченной очередью. Нумерация состояний - опять по числу заявок, находящихся в системе:

S 0 - в СМО заявок нет (все каналы свободны),

S 1 - занят один канал, остальные свободны,

S 2 - занято два канала, остальные свободны,

S k - занято k каналов, остальные свободны,

S n - заняты все п каналов (очереди нет),

S n+1 - заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди,

S n+r - заняты вес п каналов, r заявок стоит в очереди,

Граф состояний показан на рис. 20.3. Предлагаем читателю самому обдумать и обосновать значения интенсивностей, проставленных у стрелок. Граф рис. 20.3

λ λ λ λ λ λ λ λ λ

μ 2μ kμ (k+1)μ nμ nμ nμ nμ nμ

есть схема гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. Сообщим без доказательства естественное условие существования финальных вероятностей: ρ/n <1. Если ρ/n ≥ 1, очередь растет до бесконечности.

Предположим, что условие ρ/n < 1 выполнено, и финальные вероятности существуют. Применяя все те же формулы (19.8), (19.7) для схемы гибели и размножения, найдем эти финальные вероятности. В выражении для р 0 будет стоять ряд членов, содержащих факториалы, плюс сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем ρ/n . Суммируя ее, найдем

(20.22)

Теперь найдем характеристики эффективности СМО. Из них легче всего находится среднее число занятых каналов k == λ/μ, = ρ (это вообще справедливо для любой СМО с неограниченной очередью). Найдем среднее число заявок в системе L сист и среднее число заявок в очереди L оч. Из них легче вычислить второе, по формуле

L оч =

выполняя соответствующие преобразования по образцу задачи 2

(с дифференцированием ряда), получим:

L оч = (20.23)

Прибавляя к нему среднее число заявок под обслуживанием (оно же - среднее число занятых каналов) k = ρ, получим:

L сист = L оч + ρ. (20.24)

Деля выражения для L оч и L сист на λ, по формуле Литтла получим средние времена пребывания заявки в очереди и в системе:

(20.25)

А теперь решим любопытный пример. Железнодорожная касса по продаже билетов с двумя окошками представляет собой двухканальную СМО с неограниченной очередью, устанавливающейся сразу к двум окошкам (если одно окошко освобождается, ближайший в очереди пассажир его занимает). Касса продает билеты в два пункта: А и В. Интенсивность потока заявок (пассажиров, желающих купить билет) для обоих пунктов А и В одинакова: λ А = λ В = 0,45 (пассажира в минуту), а в сумме они образуют общий поток заявок с интенсивностью λ А + λ В = 0,9. Кассир тратит на обслуживание пассажира в среднем две минуты. Опыт показывает, что у кассы скапливаются очереди, пассажиры жалуются на медленность обслуживания, Поступило рационализаторское предложение: вместо одной кассы, продающей билеты и в А и в В, создать две специализированные кассы (по одному окошку в каждой), продающие билеты одна - только в пункт А , другая - только в пункт В. Разумность этого предложения вызывает споры - кое-кто утверждает, что очереди останутся прежними. Требуется проверить полезность предложения расчетом. Так как мы умеем считать характеристики только для простейших СМО, допустим, что все потоки событий - простейшие (на качественной стороне выводов это не скажется).

Ну, что же, возьмемся за дело. Рассмотрим два варианта организации продажи билетов - существующий и предлагаемый.

Вариант I (существующий). На двухканальную СМО поступает поток заявок с интенсивностью λ = 0,9; интенсивность потока обслуживании μ = 1/2 = 0,5; ρ = λ/μ = l,8. Так как ρ/2 = 0,9<1, финальные вероятности существуют. По первой формуле (20.22) находим р 0 ≈ 0,0525. Среднее, число заявок в очереди находим по формуле (20.23): L оч ≈ 7,68; среднее время, проводимое заявкой в очереди (по первой из формул (20.25)), равно W оч ≈ 8,54 (мин.).

Вариант II (предлагаемый). Надо рассмотреть две одноканальные СМО (два специализированных окошка); на каждую поступает поток заявок с интенсивностью λ = 0,45; μ. по-прежнему равно 0,5; ρ = λ/μ = 0,9<1; финальные вероятности существуют. По формуле (20.20) находим среднюю длину очереди (к одному окошку) L оч = 8,1.

Вот тебе и раз! Длина очереди, оказывается, не только не уменьшилась, а увеличилась! Может быть, уменьшилось среднее время ожидания в очереди? Посмотрим. Деля L оч на λ = 0,45, получим W оч ≈ 18 (минут).

Вот так рационализация! Вместо того чтобы уменьшиться, и средняя длина очереди, и среднее время ожидания в ней увеличились!

Давайте попробуем догадаться, почему так произошло? Пораскинув мозгами, приходим к выводу: произошло это потому, что в первом варианте (двухканальная СМО) меньше средняя доля времени, которую простаивает каждый из двух кассиров: если он не занят обслуживанием пассажира, покупающего билет в пункт А, он может заняться обслуживанием пассажира, покупающего билет в пункт В, и наоборот. Во втором варианте такой взаимозаменяемости нет: незанятый кассир просто сидит, сложа руки...

Ну, ладно,- готов согласиться читатель,- увеличение можно объяснить, но почему оно такое существенное? Нет ли тут ошибки в расчете?

И на этот вопрос мы ответим. Ошибки нет. Дело в том, что в нашем примере обе СМО работают на пределе своих возможностей; стоит немного увеличить время обслуживания (т. е. уменьшить μ), как они уже перестанут справляться с потоком пассажиров, и очередь начнет неограниченно возрастать. А «лишние простои» кассира в каком-то смысле равносильны уменьшению его производительности μ.

Таким образом, кажущийся сначала парадоксальным (или даже просто неверным) результат вычислений оказывается на поверку правильным и объяснимым.

Такого рода парадоксальными выводами, причина которых отнюдь не очевидна, богата теория массового обслуживания. Автору самому неоднократно приходилось «удивляться» результатам расчетов, которые потом оказывались правильными.

Размышляя над последней задачей, читатель может поставить вопрос так: ведь если касса продает билеты только в один пункт, то, естественно, время обслуживания должно уменьшиться, ну, не вдвое, а хоть сколько-нибудь, а мы считали, что оно по-прежнему в среднем равно 2 (мин.). Предлагаем такому придирчивому читателю ответить на вопрос: а насколько надо его уменьшить, чтобы «рационализаторское предложение» стало выгодным? Снова мы встречаемся хотя и с элементарной, но все же задачей оптимизации. С помощью ориентировочных расчетов даже на самых простых, марковских моделях удается прояснить качественную сторону явления - как выгодно поступать, а как - невыгодно. В следующем параграфе мы познакомимся с некоторыми элементарными немарковскими моделями, которые еще расширят наши возможности.

После того, как читатель ознакомился с приемами вычисления финальных вероятностей состояний и характеристик эффективности для простейших СМО (овладел схемой гибели и размножения и формулой Литтла), ему можно предложить для самостоятельного рассмотрения еще две простейшие СМО.

^ 4. Одноканальная СМО с ограниченной очередью. Задача отличается от задачи 2 только тем, что число заявок в очереди ограничено (не может превосходить некоторого заданного т). Если новая заявка приходит в момент, когда все места в очереди заняты, она покидает СМО не обслуженной (получает отказ).

Надо найти финальные вероятности состояний (кстати, они в этой задаче существуют при любом ρ - ведь число состояний конечно), вероятность отказа Р отк, абсолютную пропускную способность А, вероятность того, что канал занят Р зан, среднюю длину очереди L оч, среднее число заявок в СМО L сист , среднее время ожидания в очереди W оч , среднее время пребывания заявки в СМО W сист. При вычислении характеристик очереди можно пользоваться тем же приемом, какой мы применяли в задаче 2, с той разницей, что суммировать надо не бесконечную прогрессию, а конечную.

^ 5. Замкнутая СМО с одним каналом и m источниками заявок. Для конкретности поставим задачу в следующей форме: один рабочий обслуживает т станков, каждый из которых время от времени требует наладки (исправления). Интенсивность потока требований каждого работающего станка равна λ. Если станок вышел из строя в момент, когда рабочий свободен, он сразу же поступает на обслуживание. Если он вышел из строя в момент, когда рабочий занят, он становится в очередь и ждет, пока рабочий освободится. Среднее время наладки станка t об = 1/μ. Интенсивность потока заявок, поступающих к рабочему, зависит от того, сколько станков работает. Если работает k станков, она равна k λ. Найти финальные вероятности состояний, среднее число работающих станков и вероятность того, что рабочий будет занят.

Заметим, что и в этой СМО финальные вероятности

будут существовать при любых значениях λ и μ = 1/t об, так как число состояний системы конечно.