Мощность трехфазной цепи калькулятор. Расчёт трёхфазных цепей

6. Расчёт трёхфазных цепей.

Многофазной системой электрических цепей называют совокупность электрических цепей, в которых действуют синусоидальные ЭДС одной и той же частоты, сдвинутые друг относительно друга по фазе, создаваемые общими источником энергии (ГОСТ 19880-74).

Многофазной цепью называют многофазную систему электрических цепей в которой отдельные фазы электрически соединены друг с другом (ГОСТ 19880-74). В частности при числе фаз многофазной системы равной 3 будем иметь трехфазную цепь.

Различают симметричную и несимметричную многофазную систему. Симметричной многофазной системой токов называют мно гофазную систему электрических токов в которой отдельные электрические токи равны по амплитуде и отстают по фазе относительно друг друга на уг л ы равные , где m – число фаз. (ГОСТ 19880-74).

Несимметричной многофазной систем ой электрических токов называ ют систему не удовлетворяющую любому из вышеуказанных признаков (ГОСТ 19880-74).

6.1. Трехфазная система ЭДС.

Под трёхфазной симметричной системой ЭДС понимают совокупность трех синусоидальных ЭДС одинаковой частоты и амплитуды, сдвинутых по фазе относительно друг друга на 120°.

,

,

.

Соответственно, для действующих ЭДС в комплексной форме можно записать

,

,

и изобразить на комплексной плоскости

6.2. Общие положения и допущения при расчете трехфазных цепей.

Трехфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока и поэтому их расчет производится теми же методами и приёмами, которые присущи цепям однофазного синусоидального тока. Для анализа трехфазных цепей применим комплексный (символический) метод расчета, могут строиться векторные и топографические диаграммы.

Для анализа трехфазных цепей введем два допущения, которые сводятся к тому, что синусоидальное напряжение на зажимах трехфазного генератора симметричны при любой нагрузке:

система ЭДС трехфазного генератора, симметрична;

все источники ЭДС имеют бесконечно большую мощность.

6.3.Расчет соединения звезда-звезда с нулевым проводом.

П

редположим сейчас и в дальнейшем, что сопротивление проводов, соединяющих источник с нагрузкой, равно нулю. В этом случае в схеме образуются три обособленных контура. Токи в них

,

,

,

где ,и- линейные токи, а,и- фазные токи, токи в нагрузке, соответственно, фазыa, b, c.

Ток в нулевом проводе равен

. Напряжение между линейным проводом и нулевым узлом

- фазное напряжение:

,и. Напряжение между линейными проводами

- линейное напряжение:

,

и

.

При соединении звезда-звезда с нулевым проводом, справедливы следующие соотношения для токов:

,

и

; или для модулей:

; для напряжений:

,

,

и

,

,

; или для модулей:

.

С

имметричная многофазная (трёхфазная) цепь – это цепь, в которой комплексные сопротивления, составляющих её фаз, одинаковы (ГОСТ 19880-74). На рисунке представлена векторная диаграмма напряжений на источнике и нагрузке. Векторная диаграмма токов построена для симметричной цепи ак-тивного характера. При этом

и, следовательно, нулевой провод может быть устранён из цепи без изме-нения режима её работы. Аннало-гичная ситуация наблюдается и для симметрич-ной цепи с ак-тивно-реактивной нагрузкой, когда

.

Если нагрузка несимметрична, то есть

, то появляется ток в нулевом проводе:

.

Как это, например, показано на векторной диаграмме, когда сопротивления фаз равны по величине, но имеют различный характер: в фазе - активная нагрузка, в фазе- индуктивная нагрузка, а в фазе- емкостная нагрузка.

6.4. Расчет соединения звезда-звезда без нулевого провода.

В

случае симметричной цепи расчет токов в фазах нагрузки сводится к расчету соединения звезда-звезда с нулевым проводом, как это было показано в пункте 6.3.

,

,

.

В случае несимметричной цепи напряжение на фазе нагрузки не равно соответствующему напряжению источника. Для определения искомого тока

,

и

необходимо отыскать фазное напряжение на нагрузке.

Для этого следует записать уравнение по второму закону Кирхгофа для контуров, образованных источником ЭДС, сопротивлением нагрузки и напряжением холостого хода между узлами

:

, откуда

.

Определение

,ив последних трёх выражениях возможно в случае, когда известно

- напряжение смещения нейтрали.

Напряжение смещения нейтрали можно определить по методу двух узлов, представляя

или

при условии, что потенциал узлапринять равным нулю,

тогда:

.

Если по условию проектирования нулевой провод обладает некоторой проводимостью, то последнее выражение можно переписать в виде:

При этом расчете было предположено, что сопротивления фазных обмоток генератора и сопротивления линейных проводов равны нулю. Если эти условия не соблюдаются, то эти сопротивления могут быть учтены путем их введения в сопротивления соответствующих фаз

,и. При отсутствии сопротивлений обмоток генератора их ЭДС равны фазным напряжениям на его зажимах

,

,

и тогда полученную формулу для определения смещения нейтрали можно записать в виде:

6

.5. Расчет соединения треугольник-треугольник.

Пусть сопротивление фазных обмоток генератора и сопротивления линейных проводов равны нулю, тогда:

,

,

.

Ток в фазах нагрузки – фазный ток:

,

,

.

Линейные токи в общем случае, то есть для несимметричной цепи можно определить по первому закону Кирхгофа:

,

,

.

Для симметричной цепи линейные токи в

раз больше фазных токов.

6.6. Активная, реактивная и полная мощности трёхфазной цепи.

Под активной и реактивной мощностями понимают:

и. Полная мощность:

.

Если нагрузка симметричная, то

,,и тогда мощность трёхфазной цепи, через фазные токи и напряжения:

,

,

или через линейные токи и напряжения независимо от способа её соединения в звезду или треугольник,и

.

6.7. Измерение активной мощности в трёхфазной цепи.

Метод трёх ваттметров используют для измерения активной мощности трёхфазной цепи в случае несимметричной нагрузки. Активная мощность всей цепи равна сумме показаний всех ваттметров.

П

ри симметричной нагрузке достаточно измерить мощность одной из фаз и результат утроить – это, так называемый, метод одного ваттметра.

В случае, если узел недоступен, то измерение мощности можно произвести двумя ваттметрами.

и

.

Докажем, что сумма показаний двух ваттметров представляет собой активную мощность трехфазной цепи.

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, образованного фазными напряжениями

и

и линейным напряжением

:

, откуда

; аналогично

.

Сумма реальных частей каждого слагаемого соответствует активной мощности трехфазной цепи.

Трехфазные цепи являются частным случаем многофазных систем , под которыми понимают совокупность нескольких нагрузок и источников питания, имеющих одинаковую частоту и смещенных по фазе на некоторый угол друг относительно друга . Каждая может рассматриваться как отдельная цепь и называется фазой

системы .

Если отдельные фазы системы не соединены между собой электрически (рис. 1 а)), то такую систему называют несвязанной . Несвязанная система не обладает никакими особыми свойствами, и если между фазами отсутствует и магнитная связь, то такая совокупность цепей вообще не может рассматриваться как многофазная.

Соединение фаз системы между собой (рис. 1б)) придает ей особые качества, благодаря которым многофазные системы (в особенности трехфазные) получили исключительное распространение в области передачи и преобразования электрической энергии. Одним из очевидных преимуществ связанной системы (рис. 1) является сокращение с шести до четырех числа проводников, соединяющих источники с нагрузкой. При благоприятных обстоятельствах это число может быть уменьшено до трех. В дальнейшем мы отметим целый ряд других преимуществ, которым обладают связанные системы.

Любая многофазная система может быть симметричной и несимметричной. Симметрия системы определяется симметрией ЭДС, напряжений и токов. Под симметричной многофазной системой ЭДС, напряжений или токов понимают совокупность соответствующих величин, имеющих одинаковые амплитуды и смещенных по фазе на угол 2

p /m по отношению друг к другу, где m - число фаз системы. Если для обозначения фаз трехфазной системы использовать первые буквы латинского алфавита, то симметричную систему ЭДС можно записать в виде

Аналогичные выражения можно написать и для токов и падений напряжения в симметричной трехфазной системе.

Основное свойство
симметричных многофазных систем заключается в том, что сумма мгновенных значений величин образующих систему в каждый момент времени равна нулю . Для изображений величин образующих систему это свойство означает равенство нулю суммы фазных векторов . В справедливости этого утверждения легко убедиться на примере трехфазной системы, если в области изображений сложить числа в скобках в правой части выражений (1).

Многофазная система симметрична только тогда, когда в ней симметричны ЭДС, токи и напряжения. Если принять равными нулю внутренние сопротивления источников питания или включить их значения в сопротивления нагрузки, то условие симметрии системы сводится к симметрии ЭДС и равенству комплексных сопротивлений нагрузки. Это условие для трехфазной системы записывается в виде

Z a = Z b = Z c .

В многофазные системы объединяют источники ЭДС и нагрузки. Для обеспечения правильного соотношения сдвига фаз при соединения или связывании системы в общем случае необходимо определить выводы элементов, по отношению к которым выполняются условия (1). Они называются начало и конец фазы источника или нагрузки. Для источников многофазной системы принято за положительное направление действия ЭДС от начала к концу.

На электрических схемах, если это необходимо, начало и конец обозначают буквами латинского алфавита. На

начала элементов соответствуют индексам XYZ , а концы - ABC . В дальнейшем мы будем использовать строчные буквы для нагрузки, а прописные для источников ЭДС.

Существуют два способа связывания элементов в многофазную систему - соединение звездой и соединение многоугольником. Звезда это такое соединение, в котором начала всех элементов объединены в один узел, называемый нейтральной точкой . Подключение к системе при этом осуществляется концами элементов (рис. 2 а)). Многоугольник это соединение, в котором все элементы объединены в замкнутый контур так, что у соседних элементов соединены между собой начало и конец . С системой многоугольник соединяется в точках соединения элементов. Частным случаем многоугольника является треугольник рис. 2 б).

Источники питания и нагрузки в многофазных системах в общем случае могут быть связаны разными способами.

При анализе многофазных систем вводится ряд понятий, необходимых для описания процессов. Проводники, соединяющие между собой источники и нагрузку, называются линейными проводами , а проводник соединяющий нейтральные точки источников и нагрузки - нейтральным проводом

Электродвижущие силы источников многофазной системы (

e A , E A , E A , e B , E B , E B , e C , E C , E C ), напряжения на их выводах (u A , U A , U A , u B , U B , U B , u C , U C , U C ) и протекающие по ним токи (i A , I A , I A , i B , I B , I B , i C , I C , I C ) называются фазными . Напряжения между линейными проводами (U AB , U AB , U BC , U ac , U CA , U CA ) называются линейными .

Связь линейных напряжений с фазными можно установить через разность потенциалов линейных проводов

как u AB = u AN + u NB = u AN - u BN = u A - u B или в символической форме

U AB = U A - U B ; U BC = U B - U C ;

U CA = U C - U A .

Построим векторную диаграмму для симметричной трехфазной системы фазных и линейных напряжений (рис. 3). В теории трехфазных цепей принято направлять вещественную ось координатной системы вертикально вверх.

Каждый из векторов линейных напряжений представляет собой сумму одинаковых по модулю векторов фазных напряжений (

U ф = U A = U B =U C ), смещенных на угол 60 ° . Поэтому линейные напряжения также образуют симметричную систему и модули их векторов (U л = U AB = U BC =U CA ) можно определить как .

Выражения (3) справедливы как для симметричной системы, так и для несимметричной. Из них следует, что векторы линейных напряжений соединяют между собой концы фазных (вектор

U CA рис. 3). Следовательно, при любых фазных напряжениях они образуют замкнутый треугольник и их сумма всегда равна нулю . Это легко подтвердить аналитически сложением выражений (3) - U AB + U BC + U CA = U A - U B + U B - U C + U C - U A = 0.

Тот факт, что геометрически векторы линейных напряжений соединяют концы векторов фазных, позволяет сделать заключение о том, что любой произвольной системе линейных напряжений соответствует бесчисленное множество фазных . Это подтверждается тем, что для создания фазной системы векторов при заданной линейной, достаточно произвольно указать на комплексной плоскости нейтральную точку и из нее провести фазные векторы в точки соединения многоугольника линейных векторов.

Из уравнений Кирхгофа для узлов

a , b и c нагрузки соединенной треугольником ( ) можно представить комплексные линейные токи через фазные в виде

I A = I ab - I ca ; I B = I bc - I ab ; I C = I ca - I bc .

В случае симметрии токов

I A = I B = I C = I л и I ab = I bc = I ca = I ф, поэтому для них будет справедливо такое же соотношение, как для линейных и фазных напряжений в симметричной системе при соединении звездой, т.е . Кроме того, их сумма в каждый момент времени будет равна нулю, что непосредственно следует из суммирования выражений (4).

Перейдем теперь к рассмотрению конкретных соединений трехфазных цепей.

Пусть фазы источника и нагрузки соединены звездой с нейтральным проводом (рис. 4а)). При таком соединении нагрузка подключена к фазам источника и

U A = U a , U B = U b и U C = U c. , а I A = I a , I B = I b и I C = I c . Отсюда по закону Ома токи в фазах нагрузки равны

Выражения (5) и (6) справедливы всегда, но в симметричной системе

Z a = Z b = Z c = Z , поэтому I N =I a +I b +I c = U A /Z a +U B /Z b +U C /Z c = (U A +U B +U C )/Z = 0, т.к. по условию симметрии U A +U B +U C =0. Следовательно, в симметричной системе ток нейтрального провода равен нулю и сам провод может отсутствовать. В этом случае связанная трехфазная система будет передавать по трем проводам такую же мощность, как несвязанная по шести. На практике нейтральный провод в системах передачи электроэнергии сохраняют, т.к. его наличие позволяет получать у потребителя два значения напряжения - фазное и линейное (127/220 В, 220/380 В и т.д.). Однако сечение нейтрального провода обычно существенно меньше, чем у линейных проводов, т.к. по нему протекает только ток, создаваемый асимметрией системы.

При симметричной нагрузке токи во всех фазах одинаковы и смещены по отношению друг к другу на 120

° . Их модули или действующие значения можно определить как I = U ф /Z .

Векторные диаграммы для симметричной и несимметричной нагрузки в системе с нейтральным проводом приведены на рис. 4 б) и в).

При отсутствии нейтрального провода сумма токов в фазах нагрузки равна нулю

I a +I b +I c =0. В случае симметричной нагрузки режим работы системы не отличается от режима в системе с нейтральным проводом.

При несимметричной нагрузке между нейтральными точками источника и нагрузки возникает падение напряжения. Его можно определить по методу двух узлов, перестроив для наглядности схему рис. 5 а). В традиционном для теории электрических цепей начертании она будет иметь вид рис. 5 б). Отсюда

Y a =1/Z a , Y b =1/Z b , Y c =1/Z c - комплексные проводимости фаз нагрузки.

Напряжение

U nN представляет собой разность потенциалов между нейтральными точками источника и нагрузки. По схеме рис. 5 б) его можно представить также через разности фазных напряжений источника и нагрузки U nN = U A - U a = U B - U b = U C - U c . Отсюда фазные напряжения нагрузки

Векторные диаграммы для симметричной и несимметричной нагрузки приведены на рис. 6. Диаграммы симметричного режима (рис. 6 а)) ничем не отличаются от диаграмм в системе с нулевым проводом.

Диаграммы несимметричного режима (рис. 6 б)) иллюстрируют возможность существования множества систем фазных напряжений для любой системы линейных. Здесь системе линейных напряжений

U AB U BC U CA соответствуют две системы фазных. Фазные напряжения источника U A U B U C и фазные напряжения нагрузки U a U b U c. .

В трехфазных цепях нагрузка и источник могут быть соединены по-разному. В частности нагрузка, соединенная треугольником, может быть подключена к сети, в которой источник питания соединен звездой (рис. 7 а)).

При этом фазы нагрузки оказываются подключенными на линейные напряжения

U ab = U AB ; U bc =U BC ; U ca = U CA .

Токи в фазах можно найти по закону Ома

I ab = U ab /Z ab ; I bc = U bc /Z bc ;

I ca = U ca /Z ca ,

а линейные токи из уравнений Кирхгофа для узлов треугольника нагрузки

I A = I ab - I ca ; I B = I bc - I ab ; I C = I ca - I bc .

Векторы фазных токов нагрузки на диаграммах для большей наглядности принято строить относительно соответствующих фазных напряжений. На рис. 7 б) векторные диаграммы построены для случая симметричной нагрузки. Как и следовало ожидать, векторы фазных и линейных токов образуют симметричные трехфазные системы.

На рис. 7 в) построена векторная диаграмма для случая разных типов нагрузки в фазах. В фазе

bc и ca индуктивная и емкостная. В соответствии с характером нагрузки, вектор I ab совпадает по направлению с вектором U ab ; вектор I bc отстает, а вектор I ca опережает на 90 ° соответствующие векторы напряжений. После построения векторов фазных токов можно по выражениям (10) построить векторы линейных токов I A , I B и I C .

Трехфазная цепь является совокупностью трех однофазных цепей, поэтому ее мощность может быть определена как сумма мощностей отдельных фаз.

При соединении звездой активная мощность системы будет равна

P = P a + P b + P c = U a I a cosj a + U b I b cosj b + U c I c cosj c =

=I a 2 R a + I b 2 R b + I c 2 R c ,

а реактивная

Q = Q a + Q b + Q c = U a I a sinj a + U b I b sinj b + U c I c sinj c =

=I a 2 X a + I b 2 X b + I c 2 X c .

Если нагрузка соединена треугольником, то активная и реактивная мощности будут равны

P = P ab + P bc + P ca = U ab I ab cosj ab + U bc I bc cosj bc + U ca I ca cosj ca =

=I ab 2 R ab + I bc 2 R bc + I ca 2 R ca ,

Q = Q ab + Q bc + Q ca = U ab I ab sinj ab + U bc I bc sinj bc + U ca I ca sinj ca =

=I ab 2 X ab + I bc 2 X bc + I ca 2 X ca .

Полную мощность можно определить из треугольника мощностей как

При соединении нагрузки треугольником

Из выражений (16) и (17) следует, что полная мощность трехфазной сети и ее составляющие при симметричной нагрузке могут быть определены по линейным токам и напряжениям независимо от схемы соединения

Цепь трехфазного переменного тока состоит из трехфазного источника питания, трехфазного потребителя и проводников полосы связи меж ними.

Симметричный трехфазный источник питания можно представить в виде 3-х однофазовых источников, работающих на одной частоте с схожим напряжением и имеющих временной угол сдвига фаз 120˚. Эти источники могут соединяться звездой либо треугольником.

При соединении звездой условные начала фаз употребляют для подключения 3-х линейных проводников A, B, C, а концы фаз объединяют в одну точку, именуемую нейтральной точкой источника питания (трехфазного генератора либо трансформатора). К этой точке может подключаться нейтральный провод N. Схема соединения фаз источника питания звездой приведена на рисунке 1, а.

Рис. 1. Схемы соединения фаз источника питания: а – звездой; б – треугольником

Напряжение меж линейным и нейтральным проводами именуется фазным, а меж линейными проводами – линейным.

В всеохватывающей форме записи выражения для фазных напряжений имеют вид:

Надлежащие им линейные напряжения при соединении звездой:

Тут Uф – модуль фазного напряжения источника питания, а Uл – модуль линейного напряжения. В симметричной трёхфазной системе, при соединении фаз источника звездой, меж этими напряжениями есть связь:

При включении фаз треугольником фазные источники питания соединяют поочередно в замкнутый контур (набросок 1, б).

Из точек объединения источников меж собой выводятся три линейных провода A, B, C, идущие к нагрузке. Из рисунка 1, б видно, что выводы фазных источников подключены к линейным проводникам, а как следует, при соединении фаз источника треугольником фазные напряжения равны линейным. Нейтральный провод в данном случае отсутствует.

К трехфазному источнику может подключаться нагрузка. По величине и нраву трёхфазная нагрузка бывает симметричной и несимметричной.

В случае симметричной нагрузки всеохватывающие сопротивления всех трёх фаз схожи, а если эти сопротивления различны, то нагрузка несимметричная. Фазы нагрузки могут соединяться меж собой звездой либо треугольником (набросок 2), независимо от схемы соединения источника.

Рис. 2. Схемы соединения фаз нагрузки

Соединение звездой может быть с нейтральным проводом (см. набросок 2, а) и без него. Отсутствие нейтрального провода избавляет жёсткую привязку напряжения на нагрузке к напряжению источника питания, и в случае несимметричной нагрузки по фазам эти напряжения не равны меж собой. Чтоб их отличить, договорились в индексах буквенных обозначений напряжений и токов источника питания использовать строчные буковкы, а в параметрах, присущих нагрузке, – строчные.

Метод анализа трёхфазной цепи находится в зависимости от схемы соединения нагрузки, начальных характеристик и цели расчёта.

Для определения фазных напряжений при несимметричной нагрузке, соединённой звездой без нейтрального провода, употребляют способ 2-ух узлов. В согласовании с этим способом расчёт начинают с определения напряжения UN меж нейтральными точками источника питания и нагрузки, именуемого напряжением смещения нейтрали:

где ya , yb , yc – полные проводимости соответственных фаз нагрузки в всеохватывающей форме

Напряжения на фазах несимметричной нагрузки находят из выражений:

В личном случае несимметрии нагрузки, когда при отсутствии нейтрального провода происходит куцее замыкание одной из фаз нагрузки, напряжение смещения нейтрали равно фазному напряжению источника питания той фазы, в какой вышло куцее замыкание.

Напряжение на замкнутой фазе нагрузки равно нулю, а на 2-ух других оно численно равно линейному напряжению. К примеру, пусть вышло куцее замыкание в фазе В. Напряжение смещения нейтрали для этого варианта UN = UB. Тогда фазные напряжения на нагрузке:

Фазные токи в нагрузке, они же и токи линейных проводов при любом нраве нагрузки:

В задачках при проведении расчётов трёхфазных цепей рассматривают три варианта соединения трёхфазных потребителей звездой: соединение с нейтральным проводом при наличии потребителей в трёх фазах, соединение с нейтральным проводом при отсутствии потребителей в одной из фаз и соединение без нейтрального провода с маленьким замыканием в одной из фаз нагрузки.

В первом и втором вариантах на фазах нагрузки находят надлежащие фазные напряжения источника питания и фазные токи в нагрузке определяются по приведенным выше формулам.

В 3-ем варианте напряжение на фазах нагрузки не равно фазному напряжению источника питания и определяется при помощи зависимостей

Токи, в 2-ух незакороченных фазах, определяют по закону Ома, как личное от деления фазного напряжения на полное сопротивление соответственной фазы. Ток в закороченной фазе определяют при помощи уравнения на основании первого закона Кирхгофа, составленного для нейтральной точки нагрузки.

Для рассмотренного выше примера с маленьким замыканием фазы В:

При любом нраве нагрузки трёхфазная активная и реактивная мощности равны соответственно сумме активных и реактивных мощностей отдельных фаз. Для определения этих мощностей фаз можно пользоваться выражением

где U ф,I ф, – комплекс напряжения и сопряжённый комплекс тока на фазе нагрузки; Pф, Qф – активная и реактивная мощности в фазе нагрузки.

Трёхфазная активная мощность: P = P а + Pb + P с

Трёхфазная реактивная мощность: Q = Q а + Qb + Q с

Трёхфазная полная мощность:

При подключении потребителей треугольником схема приобретает вид, изображённый на рисунке 2, б. В этом режиме схема соединения фаз симметричного источника питания не играет роли.

На фазах нагрузки находят линейные напряжения источника питания. Фазные токи в нагрузке определяют при помощи закона Ома для участка цепи I ф = U ф/z ф, где U ф – фазное напряжение на нагрузке (соответственное линейное напряжение источника питания); z ф – полное сопротивление соответственной фазы нагрузки.

Токи в линейных проводах определяют через фазные на основании первого закона Кирхгофа для каждого узла (точки a,b,c) схемы, изображённой на рисунке 2, б:

Школа для электрика

6. Расчёт трёхфазных цепей.

6.1. Трехфазная система ЭДС.

,

,

.

Соответственно, для действующих ЭДС в комплексной форме можно записать

,

,

и изобразить на комплексной плоскости

6.2. Общие положения и допущения при расчете трехфазных цепей.

система ЭДС трехфазного генератора, симметрична;

все источники ЭДС имеют бесконечно большую мощность.

6.3.Расчет соединения звезда-звезда с нулевым проводом.

,

,

,

где ,и- линейные токи, а,и- фазные токи, токи в нагрузке, соответственно, фазыa, b, c.

Если нагрузка несимметрична, то есть

, то появляется ток в нулевом проводе:

.

6.4. Расчет соединения звезда-звезда без нулевого провода.

,

,

.

Определение

,ив последних трёх выражениях возможно в случае, когда известно

- напряжение смещения нейтрали.

тогда:

.

6

.5. Расчет соединения треугольник-треугольник.

Пусть сопротивление фазных обмоток генератора и сопротивления линейных проводов равны нулю, тогда:

,

,

.

Ток в фазах нагрузки – фазный ток:

,

,

.

Линейные токи в общем случае, то есть для несимметричной цепи можно определить по первому закону Кирхгофа:

,

,

.

Для симметричной цепи линейные токи в

раз больше фазных токов.

6.6. Активная, реактивная и полная мощности трёхфазной цепи.

Под активной и реактивной мощностями понимают:

и. Полная мощность:

.

6.7. Измерение активной мощности в трёхфазной цепи.

В случае, если узел недоступен, то измерение мощности можно произвести двумя ваттметрами.

и

.

Докажем, что сумма показаний двух ваттметров представляет собой активную мощность трехфазной цепи.

Сумма реальных частей каждого слагаемого соответствует активной мощности трехфазной цепи.

Состоит из трехфазного источника питания, трехфазного потребителя и проводников линии связи между ними.

Симметричный трехфазный источник питания можно представить в виде трех однофазных источников, работающих на одной частоте с одинаковым напряжением и имеющих временной угол сдвига фаз 120˚. Эти источники могут соединяться звездой или треугольником.

При соединении звездой условные начала фаз используют для подключения трех линейных проводников A, B, C, а концы фаз объединяют в одну точку, называемую нейтральной точкой источника питания (трехфазного генератора или трансформатора). К этой точке может подключаться нейтральный провод N. Схема соединения фаз источника питания звездой приведена на рисунке 1, а.

Рис. 1. Схемы соединения фаз источника питания: а – звездой; б – треугольником

В записи выражения для фазных напряжений имеют вид:

Соответствующие им линейные напряжения при соединении звездой:

Здесь Uф – модуль фазного напряжения источника питания, а Uл – модуль линейного напряжения. В симметричной трёхфазной системе, при соединении фаз источника звездой, между этими напряжениями есть взаимосвязь:

При включении фаз треугольником фазные источники питания соединяют последовательно в замкнутый контур (рисунок 1, б).

Из точек объединения источников между собой выводятся три линейных провода A, B, C, идущие к нагрузке. Из рисунка 1, б видно, что выводы фазных источников подключены к линейным проводникам, а следовательно, при соединении фаз источника треугольником фазные напряжения равны линейным. Нейтральный провод в этом случае отсутствует.

К трехфазному источнику может подключаться нагрузка. По величине и характеру трёхфазная нагрузка бывает симметричной и несимметричной.

В случае симметричной нагрузки комплексные сопротивления всех трёх фаз одинаковы, а если эти сопротивления различны, то нагрузка несимметричная. Фазы нагрузки могут соединяться между собой звездой или треугольником (рисунок 2), независимо от схемы соединения источника.

Рис. 2. Схемы соединения фаз нагрузки

Соединение звездой может быть с нейтральным проводом (см. рисунок 2, а) и без него. Отсутствие нейтрального провода устраняет жёсткую привязку напряжения на нагрузке к напряжению источника питания, и в случае несимметричной нагрузки по фазам эти напряжения не равны между собой. Чтобы их отличить, условились в индексах буквенных обозначений напряжений и токов источника питания применять прописные буквы, а в параметрах, присущих нагрузке, – строчные.

Алгоритм анализа трёхфазной цепи зависит от схемы соединения нагрузки, исходных параметров и цели расчёта.

Для определения фазных напряжений при несимметричной нагрузке, соединённой звездой без нейтрального провода, используют метод двух узлов. В соответствии с этим методом расчёт начинают с определения напряжения UN между нейтральными точками источника питания и нагрузки, называемого напряжением смещения нейтрали:

где ya , yb , yc – полные проводимости соответствующих фаз нагрузки в комплексной форме

Напряжения на фазах несимметричной нагрузки находят из выражений:

В частном случае несимметрии нагрузки, когда при отсутствии нейтрального провода происходит короткое замыкание одной из фаз нагрузки, напряжение смещения нейтрали равно фазному напряжению источника питания той фазы, в которой произошло короткое замыкание.

Напряжение на замкнутой фазе нагрузки равно нулю, а на двух других оно численно равно линейному напряжению. Например, пусть произошло короткое замыкание в фазе В. Напряжение смещения нейтрали для этого случая UN = UB. Тогда фазные напряжения на нагрузке:

Фазные токи в нагрузке, они же и токи линейных проводов при любом характере нагрузки:

В задачах при проведении расчётов трёхфазных цепей рассматривают три варианта соединения трёхфазных потребителей звездой: соединение с нейтральным проводом при наличии потребителей в трёх фазах, соединение с нейтральным проводом при отсутствии потребителей в одной из фаз и соединение без нейтрального провода с коротким замыканием в одной из фаз нагрузки.

В первом и втором вариантах на фазах нагрузки находят соответствующие фазные напряжения источника питания и фазные токи в нагрузке определяются по приведенным выше формулам.

В третьем варианте напряжение на фазах нагрузки не равно фазному напряжению источника питания и определяется с помощью зависимостей

Токи, в двух незакороченных фазах, определяют по закону Ома, как частное от деления фазного напряжения на полное сопротивление соответствующей фазы. Ток в закороченной фазе определяют с помощью уравнения на основании , составленного для нейтральной точки нагрузки.

Для рассмотренного выше примера с коротким замыканием фазы В:

При любом характере нагрузки трёхфазная активная и реактивная мощности равны соответственно сумме активных и реактивных мощностей отдельных фаз. Для определения этих мощностей фаз можно воспользоваться выражением

Трёхфазная активная мощность: P = P а + Pb + P с

Трёхфазная реактивная мощность: Q = Q а + Qb + Q с

Трёхфазная полная мощность:

На фазах нагрузки находят линейные напряжения источника питания. Фазные токи в нагрузке определяют с помощью I ф = U ф/z ф, где U ф – фазное напряжение на нагрузке (соответствующее линейное напряжение источника питания); z ф – полное сопротивление соответствующей фазы нагрузки.